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华中师范大学 史为林（①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤）整理

高中数学复习专题讲座直线与圆锥曲线问题的处理方法(2)

直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能 重难点归纳

1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法 矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍 聞創沟燴鐺險爱氇谴净。 典型题例示范讲解

例1如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件 |F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列 残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。 (1)求该弦椭圆的方程；

yA(2)求弦AC中点的横坐标； BC(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围

ox识，一、F2F1命题意图 本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知

二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计B'新颖，综合性，灵活性强 酽锕极額閉镇桧猪訣锥。 知识依托 椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法

25错解分析 第三问在表达出“k=36y0”时，忽略了“k=0”时的情况，理不清题目中变量

间的关系

技巧与方法 第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解，第三问利用m表示出弦AC的中点P的纵坐标y0,利用y0的范围求m的范围 彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。 22解 (1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=a?c=3

x2y2?259=1 故椭圆方程为

9254(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=5 因为椭圆右准线方程为x=4,离心率为5，根

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425425据椭圆定义，有|F2A|=5(4－x1),|F2C|=5(4－x2)，謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。 由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得

42542595(4－x1)+5(4－x2)=2×5,由此得出 x1+x2=8 x1?x2设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0=2=4

(3)解法一 由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上

22??9x1?25y1?9?25?? ①?29x2?25y22?9?25 ②??得

①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0,

(即9×

x1?x2y?y2y?y2)?25(1)?(1)22x1?x2=0(x1≠x2)

将

x1?x2y?y2y?y21?x0?4,1?y0,1??22x1?x2k (k≠0)

1代入上式，得9×4+25y0(－k)=0 (k≠0) 25即k=36y0(当k=0时也成立)

由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,

2516所以m=y0－4k=y0－9y0=－9y0

由点P(4，y0)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，

991616得－5＜y0＜5,所以－5＜m＜5

解法二 因为弦AC的中点为P(4,y0)，所以直线AC的方程为

1y－y0=－k(x－4)(k≠0)③ x2y2?将③代入椭圆方程259=1,得

(9k2+25)x2－50(ky0+4)x+25(ky0+4)2－25×9k2=0

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50(k0?4)252所以x1+x2=9k?25=8,解得k=36y0 (当k=0时也成立)

(以下同解法一)

2y?ax?1上总存在关于直线x?y?0对称的两点，求a的范围 例2若抛物线

解法一 （对称曲线相交法）

22x?y?0y?ax?1?x?ay?1 曲线关于直线对称的曲线方程为2y?ax?1上总存在关于直线x?y?0对称的两点，则两曲线 如果抛物线

y?ax2?1与?x?ay2?1必有不在直线x?y?0上的两个不同的交点(如图所示)，从而可

由

y?y?ax2?1?222??x?ay?1?y?x?a(x?y)

∵x?y?0,

-x=ay2-1oy=ax2-1A'xx+y=0A-11y?x?a ∴

代入y?ax?1得

2ax2?x?1?1?0a有两个不同的解，

13??(?1)2?4a(?1)?0?a?a4 ∴

解法二 （对称点法）

2y?ax?1上存在异于于直线x?y?0的交设抛物线

y点

y=ax2-1A'A(x0,y0)，且A(x0,y0)关于直线x?y?0的对称的点

A?(?y0,?x0)也在抛物线y?ax2?1上

则

Ao点

xx+y=0-1?y0?ax02?1?2?x?a(?y)?100?(1)-(2)得

(1)(2) 必有两组解

y0?x0?a(x02?y02) 必有两个不同解

∵

y0?x0?0，

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