内容发布更新时间 : 2026/3/15 0:41:39星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第二篇专题二第3讲 导数的简单应用与定积分
[限时训练·素能提升] (限时50分钟，满分76分)
一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分)
13
1．已知函数f(x)＝x－3ax＋，若x轴为曲线y＝f(x)的切线，则a的值为
41131A. B．－ C．－ D. 2244
1
1x＝，03?2?x0－3ax0＋＝0，24解析 f′(x)＝3x－3a，设切点坐标为(x0，0)，则?解得
1?a＝.?3x20－3a＝0，
4
?????
答案 D
2．(2018·太原二模)函数y＝f(x)的导函数的图像如图所示，则下列说法错误的是 A．(－1，3)为函数y＝f(x)的单调递增区间 B．(3，5)为函数y＝f(x)的单调递减区间 C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值 D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值
解析 由函数y＝f(x)的导函数的图像可知，当x<－1或3
答案 C
432
3．(2018·宣城第二次调研)若函数f(x)＝x－2ax－(a－2)x＋5恰好有三个单调区
3间，则实数a的取值范围是
A．－1≤a≤2 B．－2≤a≤1 C．a>2或a<－1 D．a>1或a<－2
4322
解析 因为函数f(x)＝x－2ax－(a－2)x＋5恰好有三个单调区间，所以f′(x)＝4x3－4ax－(a－2)有两个不等零点，则Δ＝16a＋16(a－2)＝16(a－1)(a＋2)>0，解得a>1或
2
a<－2.故选D.
1
答案 D
4．(2018·洛阳三模)定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足
f(x)>f′(x)，且f(0)＝2，则不等式f(x)<2ex的解集为
A．(－∞，0) B．(－∞，2) C．(0，＋∞) D．(2，＋∞) 解析 构造函数F(x)＝
f（x）
e
x，F′(x)＝
f′（x）－f（x）
e
xx<0，即F(x)在R上是减函
数．因为f(0)＝2，所以F(0)＝f(0)＝2，不等式f(x)<2e，即F(x)<2＝F(0)，解得x>0，故不等式f(x)<2e的解集为(0，＋∞)．
答案 C
e
5．(2018·昆明二模)已知函数f(x)＝2＋2kln x－kx，若x＝2是函数f(x)的唯一极
xxx值点，则实数k的取值范围是
e?e???A.?－∞，? B.?－∞，? 4?2???C．(0，2] D．[2，＋∞)
e（x－2）2k（x－2）（e－kx）
解析 由题意得f′(x)＝＋－k＝，f′(2)＝0.令g(x)33
xx2
2
xxxee
＝e－kx，g(x)在区间(0，＋∞)恒大于等于0，或恒小于等于零，k＝2，h(x)＝2，h′(x)
x2
xxxxe（x－2）＝， 3
2
xee
所以h(x)的最小值为h(2)＝，所以k≤，选A.
44答案 A
二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12
6．(2018·赣州二模)函数f(x)＝x－ln x的递减区间为________．
21x－1
解析 f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝x－＝，
2
22
xx令f′(x)<0，解得0 7．(2018·广东五校协作体二模)若函数f(x)＝x(x－a)在x＝2处取得极小值，则a＝________． 解析 求导函数可得f′(x)＝3x－4ax＋a， 所以f′(2)＝12－8a＋a＝0，解得a＝2或a＝6， 当a＝2时，f′(x)＝3x－8x＋4＝(x－2)(3x－2)，函数在x＝2处取得极小值，符合 2 22 2 2 2 题意； 当a＝6时，f′(x)＝3x－24x＋36＝3(x－2)(x－6)，函数在x＝2处取得极大值，不符合题意，所以a＝2. 答案 2 8．(2018·唐山统考)过点(－1，0)的直线l与曲线y＝x相切，则曲线y＝x与l及 2 x轴所围成的封闭图形的面积为________． 解析 因为y＝x的导数为y′＝1 2x， 设切点为P(x，则切线的斜率为1x0 0，y0)2x＝0x， 0＋1解得x1，即切线的斜率为1 0＝2， 所以直线l的方程为y＝1 2(x＋1)， 所以所围成的封闭图形的面积为 ?1 ?1??2 （x＋1）－x??dx＋12×1×1 0??2＝??12123?11?4 x2x1 ＋－3x2??|0＋4＝3. 答案 1 3 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 9．(2017·北京)已知函数f(x)＝excos x－x. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求函数f(x)在区间??? 0，π2???上的最大值和最小值． 解析 (1)因为f(x)＝excos x－x， 所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0. 又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. (2)设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，则 h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x. 当x∈???0，π2???时，h′(x)<0， 所以h(x)在区间??π? 0，2???上单调递减． 3