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2016届高三数学一轮基础巩固 第3章 第4节 定积分与微积分基
本定理(理) 新人教A版
一、选择题
111
1．(2013·山东济南一模)设a＝?2dx，b＝?3dx，c＝?5dx，则下列关系式成立的是
?x?x?x1
1
1
( )
A．<<
235C．<< 523[答案] C
111
[解析] ∵a＝?2dx＝ln2，b＝?3dx＝ln3，c＝?5dx＝ln5，
abccabB．<< 325D．<< 253
bacacb?1x?1x?1xa1b1c1cab3553
∴＝ln2＝ln2，＝ln3＝ln3，＝ln5＝ln5，而5<2<3，∴<<，选C． 223355523
2．(2014·河南南阳第一中学月考)设函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，若?3f(x)dx＝3f(x0)，
2
?0
则x0＝( )
A．±1 C．±3 [答案] C
13232
[解析] 因为?3f(x)dx＝?3(ax＋b)dx＝(ax＋bx)|0＝9a＋3b,3f(x0)＝3ax0＋3b，所以
3??
0
0
B．2 D．2
9a＋3b＝3ax0＋3b，所以x0＝3，x0＝±3，故选C．
3．(2013·湖北理，7)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度
22
v(t)＝7－3t＋
25
(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距1＋t离(单位：m)是( )
A．1＋25ln5 C．4＋25ln5 [答案] C
[解析] 由于v(t)＝7－3t＋
25
，且汽车停止时速度为0， 1＋t11
B．8＋25ln
3D．4＋50ln2
因此由v(t)＝0可解得t＝4，
即汽车从刹车到停止共用4s. 该汽车在此期间所行驶的距离
253t4
s＝?(7－3t＋)dt＝[7t－＋25ln(t＋1)]|0
1＋t2?
40
2
＝4＋25ln5(m)．
4．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是( ) A．2π 3π
C．
2[答案] A [解析] 如图，
π
S＝∫20(1－cosx)dx
B．3π D．π
＝(x－sinx)|0＝2π.
[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为
2π
?π，π?，则对称性就无能为力了． ?6???
5.(2014·广东深圳调研)如图所示，在矩形OABC内：记抛物线y＝x＋1与直线y＝x＋1围成的区域为M(图中阴影部分)．随机往矩形OABC内投一点P，则点P落在区域M内的概率是( )
1
A． 181C． 6[答案] B
12
[解析] 根据定积分知识可得阴影部分面积S＝?1[(x＋1)－(x＋1)]dx＝，点落在区域
6?
0
2
1
B． 121D． 3
161
内的概率为面积型几何概型，所以由几何概型的概率计算公式得P＝＝，故选B．
212
x＋－1≤x??
6．(2014·广东中山实验高中段考)已知函数f(x)＝?π
cosxx≤?2?
( )
3
A． 2
B．1
，则＝
C．2 [答案] A [解析] ，故选A． 二、填空题
1D． 2
7. (2013·济宁一模)如图，长方形的四个顶点为O(0,0)，A(2,0)，B(2,4)，C(0,4)．曲线y＝ax经过点B，现将一质点随机投入正方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是
________.
2 [答案] 3
[解析] ∵y＝ax过点B(2,4)，∴a＝1，
2
2
∴所求概率为1－
?xdx?02
2×4
22
＝.
3
2
2
2
8. (2014·山西大学附中月考)如图，圆O：x＋y＝π内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率为________.
[答案]
43 π
3
π
[解析] 圆的面积S＝π，区域M的面积S′＝2?πsinxdx＝2(－cosx) |0＝2(－cosπ
?0
＋cos0)＝4，故所求概率P＝
43. π
2
9．(2014·河北名校名师俱乐部模拟)已知在函数f(x)＝ex＋ae图象上点(1，f(1))处切线的斜率为e，则?1f(x)dx＝________.
x?0
2[答案] 1－e
3
13x2x[解析] f′(x)|x＝1＝(2ex＋ae)|x＝1＝2e＋ae＝e?a＝－1，则?1(ex－e)dx＝(ex－
3?
0
2x1
e)|0＝1－e. 3
10．(2013·北京东城区检测)图中阴影部分的面积等于________．