内容发布更新时间 : 2024/5/29 7:11:26星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 2．3.1 抛物线及其标准方程

[学习目标] 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线的方程．

[知识链接]

如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．画出的曲线是什么形状？

点D在移动过程中，满足什么条件？ 答案 抛物线 |DA|＝|DC| [预习导引] 1．抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线标准方程的几种形式 图形 2标准方程 焦点坐标 (，0) 2准线方程 py＝2px(p>0) y2＝－ 2px(p>0) px＝－ 2(－，0) 2ppx＝ 2 1

x＝2py(p>0) x2＝－ 2py(p>0) 2(0，) 2ppy＝－ 2(0，－) 2ppy＝ 2

要点一 求抛物线的标准方程

例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为(－2,0)； (2)准线为y＝－1； (3)过点A(2,3)； 5

(4)焦点到准线的距离为.

2

解 (1)由于焦点在x轴的负半轴上，且＝2，∴p＝4，

2∴抛物线标准方程为y＝－8x.

(2)∵焦点在y轴正半轴上，且＝1，∴p＝2，

2∴抛物线标准方程为x＝4y.

(3)由题意，抛物线方程可设为y＝mx(m≠0)或x＝ny(n≠0)， 将点A(2,3)的坐标代入，得3＝m·2,2＝n·3，

94∴m＝，n＝. 23

9422

∴所求抛物线方程为y＝x或x＝y.

2355

(4)由焦点到准线的距离为，可知p＝. 22∴所求抛物线方程为

2

2

2

2

22

ppy2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.

规律方法 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x轴上的抛物线方程可设为y＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x＝ay(a≠0)． 跟踪演练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．

2

2

2

(1) 过点(3，－4)；

(2) 焦点在直线x＋3y＋15＝0上．

解 (1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y＝2px (p>0)或x＝－2p1y (p1>0)．

把点(3，－4)的坐标分别代入y＝2px和x＝－2p1y，得(－4)＝2p·3,3＝－2p1·(－4)，

169

即2p＝，2p1＝.

34

16922

∴所求抛物线的标准方程为y＝x或x＝－y.

34方法二 设抛物线的方程为y＝ax (a≠0)或x＝by (b≠0)． 169

把点(3，－4)分别代入，可得a＝，b＝－.

3416922

∴所求抛物线的标准方程为y＝x或x＝－y.

34(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．

∴所求抛物线的标准方程为x＝－20y或y＝－60x. 要点二 抛物线定义的应用

例2 如图，已知抛物线y＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．

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22

2

解 如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|＋d的最小值的问

题．

将x＝3代入抛物线方程y＝2x， 得y＝±6.∵6>2， ∴A在抛物线内部．

1

设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.由图可知，

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2

3