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2013中考数学压轴题动态几何题型精选解析

例题

如图，在平面直角坐标系中，直线y=

x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上

的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边△CDE，点D

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和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（x﹣m）+n经过点E．⊙M与x轴、直线AB都相切，其半径为3（1﹣）a． （1）求点A的坐标和∠ABO的度数； （2）当点C与点A重合时，求a的值；

（3）点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切？

思路分析：

（1）已知直线AB的解析式，令解析式的x=0，能得到A点坐标；令y=0，能得到B点坐标；在Rt△OAB中，知道OA、OB的长，用正切函数即可得到∠ABO的读数．

（2）当C、A重合时，就告诉了点C的坐标，然后结合OC的长以及等边三角形的特性求出OD、OE的长，即可得到D、E的坐标，利用待定系数即可确定a的值．

（3）此题需要结合图形来解，首先画出第一次相切时的示意图（详见解答图）；已知的条件只有圆的半径，那么先连接圆心与三个切点以及点E，首先能判断出四边形CPMN是正方形，那么CP与⊙M的半径相等，只要再求出PE就能进一步求得C点坐标；那么可以从PE=EQ，即Rt△MEP入手，首先∠CED=60°，而∠MEP=∠MEQ，易求得这两个角的度数，通过解直角三角形不难得到PE的长，即可求出PE及点C、E的坐标．然后利用C、E的坐标确定a的值，进而可求出AC的长，由此得解． 解：（1）当x=0时，y=1；当y=0时，x=﹣， ∴OA=1，OB=，∴A的坐标是（0，1） ∠ABO=30°．

（2）∵△CDE为等边△，点A（0，1），∴tan30°=∴D的坐标是（﹣E的坐标是（

，0），

，∴

，

，0），

，0），E（

，0）代入 y=a（x﹣m）+n，

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把点A（0，1），D（﹣

解得：a=﹣3．

（3）如图，设切点分别是Q，N，P，连接MQ，MN，MP，ME，过点C作CH⊥x轴，H为垂足，过A作AF⊥CH，F为垂足．

∵△CDE是等边三角形，∠ABO=30° ∴∠BCE=90°，∠ECN=90°

∵CE，AB分别与⊙M相切，∴∠MPC=∠CNM=90°，∴四边形MPCN为矩形，∵MP=MN ∴四边形MPCN为正方形…6分

∴MP=MN=CP=CN=3（1﹣）a（a＜0）． ∵EC和x轴都与⊙M相切，∴EP=EQ． ∵∠NBQ+∠NMQ=180°，∴∠PMQ=60° ∴∠EMQ，=30°，∴在Rt△MEP中，tan30°=

，∴PE=（

﹣3）a

∴CE=CP+PE=3（1﹣）a+（﹣3）a=﹣2a ∴DH=HE=﹣a，CH=﹣3a，BH=﹣3a， ∴OH=﹣3a﹣，OE=﹣4a﹣ ∴E（﹣4a﹣，0） ∴C（﹣3a﹣，﹣3a）

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设二次函数的解析式为：y=a（x+3a+）﹣3a ∵E在该抛物线上

∴a（﹣4a﹣+3a+）﹣3a=0

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得：a=1，解之得a1=1，a2=﹣1 ∵a＜0，∴a=﹣1

∴AF=2，CF=2，∴AC=4

∴点C移动到4秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切．

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点评： 这道二次函数综合题目涉及的知识点较多，有：待定系数法确定函数解析式、等边三角形的性质、切线长定理等重点知识．难度在于涉及到动点问题，许多数值都不是具体值；（3）题中，正确画出草图、贯彻数形结合的解题思想是关键．