内容发布更新时间 : 2024/11/1 7:42:11星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
燕尾定理
例题精讲
燕尾定理:
在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O,那么S?ABO:S?ACO?BD:DC.
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴,所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
通过一道例题证明一下燕尾定理:
如右图,D是BC上任意一点,请你说明:S1:S4?S2:S3?BD:DC
【解析】 三角形BED与三角形CED同高,分别以BD、DC为底,
所以有S1:S4?BD:DC;三角形ABE与三角形EBD同高,S1:S2?ED:EA;三角形ACE与三角形
CED同高,S4:S3?ED:EA,所以S1:S4?S2:S3;综上可得S1:S4?S2:S3?BD:DC.
【例 1】 (2009年第七届希望杯五年级一试试题)如图,三角形ABC的面积是1,E是AC的中点,点D在
BC上,且BD:DC?1:2,AD与BE交于点F.则四边形DFEC的面积等于 .
【解析】 方法一:连接CF,
根据燕尾定理,
S△ABFBD1S△ABFAE??,??1, S△ACFDC2S△CBFEC设S△BDF?1份,则S△DCF?2份,S△ABF?3份,S△AEF?S△EFC?3份,如图所标 所以SDCEF?55S△ABC? 121211方法二:连接DE,由题目条件可得到S△ABD?S△ABC?,
33BFS△ABD11121??, S△ADE?S△ADC??S△ABC?,所以
FES△ADE122331111111S△DEF??S△DEB???S△BEC????S△ABC?,
223232122115而S△CDE???S△ABC?.所以则四边形DFEC的面积等于.
32312
【巩固】如图,已知BD?DC,EC?2AE,三角形ABC的面积是30,求阴影部分面积.
【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值,其他条件给出的实际上是比例的关系,由此我们可以初步
判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形,所以我们需要对它进行改造,那么我们需要连一条辅助线,
(法一)连接CF,因为BD?DC,EC?2AE,三角形ABC的面积是30,
11所以S△ABE?S△ABC?10,S△ABD?S△ABC?15.
32根据燕尾定理,
S△ABFAE1SBD??,△ABF??1, S△CBFEC2S△ACFCD1所以S△ABF?S△ABC?7.5,S△BFD?15?7.5?7.5,
4所以阴影部分面积是30?10?7.5?12.5.
1 (法二)连接DE,由题目条件可得到S△ABE?S△ABC?10,
3AFS△ABE1112??, S△BDE?S△BEC??S△ABC?10,所以
FDS△BDE1223111111 S△DEF??S△DEA???S△ADC????S△ABC?2.5,
22323221 而S△CDE???S△ABC?10.所以阴影部分的面积为12.5.
32
【巩固】如图,三角形ABC的面积是200cm2,E 在AC上,点D在BC上,且AE:EC?3:5,BD:DC?2:3,
AD与BE 交于点F.则四边形DFEC的面积等于 .
【解析】 连接CF,
S△ABFBD26SAE36???,△ABF???, S△ACFDC39S△CBFEC510根据燕尾定理,
设S△ABF?6份,则S△ACF?9份,S△BCF?10份,S△EFC?9?所以SDCFE?200?(6?9?10)?(5453份,S△CDF?10???6份,
3?582?34545?6)?8?(?6)?93(cm2) 88
【巩固】如图,已知BD?3DC,EC?2AE,BE与CD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面积各占△ABC
面积的几分之几?
【解析】 连接CO,设S△AEO?1份,则其他部分的面积如图所示,所以S△ABC?1?2?9?18?30份,所以四部
分按从小到大各占△ABC面积的
12?4.5139313.59,?,?,?30306030103020
11【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示,在△ABC中,CP?CB,CQ?CA,BQ与AP相交于
23点X,若△ABC的面积为6,则△ABX的面积等于 .
【解析】 方法一:连接PQ.
11211由于CP?CB,CQ?CA,所以SVABQ?SVABC,SVBPQ?SVBCQ?SVABC.
2332621由蝴蝶定理知,AX:XP?SVABQ:SVBPQ?SVABC:SVABC?4:1,
3644122所以SVABX?SVABP??SVABC?SVABC??6?2.4.
55255方法二:连接CX设S△CPX?1份,根据燕尾定理标出其他部分面积, 所以S△ABX?6?(1?1?4?4)?4?2.4
【巩固】如图,三角形ABC的面积是1,BD?2DC,CE?2AE,AD与BE相交于点F,请写出这4部分
的面积各是多少?
【解析】 连接CF,设S△AEF?1份,则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示,所以
S△AEF?16282?42,S△ABF??,S△BDF?,SFDCE?? 2121721217
【巩固】如图,E在AC上,D在BC上,且AE:EC?2:3,BD:DC?1:2,AD与BE交于点F.四边形DFEC的面积等于22cm2,则三角形ABC的面积 .
【解析】 连接CF,根据燕尾定理,
S△ABFBD1S△ABFAE2??,??, S△ACFDC2S△CBFEC3设S△BDF?1份,则S△DCF?2份,S△ABF?2份,S△AFC?4份,S△AEF?4?份,S△EFC?4?2?1.6 2?33?2.4份,如图所标,所以SEFDC?2?2.4?4.4份,S△ABC?2?3?4?9份 2?3所以S△ABC?22?4.4?9?45(cm2)