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截长补短辅助线模型

模型：截长补短

如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法.

截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证明GF＝CD即可.

补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证明AH＝EF即可.

模型分析

截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.

模型实例

例1：如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2 . 求证：AB＝AC＋CD .

证法一，截长法：

如图①，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE. ∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD， ∴△ACD≌△AED ， ∴CD＝DE，∠C＝∠3 . ∵∠C＝2∠B，

∴∠3＝2∠B＝∠4＋∠B ， ∴∠4＝∠B ， ∴DE＝BE ， ∴CD＝BE.

∵AB＝AE＋BE， ∴AB＝AC＋CD .

证法二，补短法：

如图②，延长AC到点E，使CE＝CD，连接DE .

∵CE＝CD，∴∠4＝∠E .

∵∠3＝∠4＋∠E，∴∠3＝2∠E . ∵∠3＝2∠B，∴∠E＝∠B . ∵∠1＝∠2，AD＝AD，

∴△EAD≌△BAD，∴AE＝AB. 又∵AE＝AC＋CE， ∴∴AB＝AC＋CD .

例2：如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C，∠A＝∠GBD . 求证：AO＋BO＝2CO .

证明：在线段AO上取一点E，使CE＝AC，连接DE . ∵CD＝CD，DC⊥OA， ∴△ACD≌△ECD， ∴∠A＝∠CED . ∵∠A＝∠GBD ， ∴∠CED＝∠GBD ，

∴1800－∠CED＝1800－∠GBD ， ∴∠OED＝∠OBD . ∵OD平分∠AOB， ∴∠AOD＝∠BOD . ∵OD＝OD，

∴△OED≌△OBD ， ∴OB＝OE，

∴AO＋BO＝AO＋OE＝OE＋2CE＋OE＝OE＋CE＋OE＋CE＝2（CE＋OE）＝2CO .

1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝600，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB＋BD . 求∠ABC的度数 .

【答案】 证法一：补短

延长AB到点E，使BE＝BD . 在△BDE中， ∵BE＝BD，∴∠E＝∠BDE， ∴∠ABC＝∠BDE＋∠E＝2∠E . 又∵AC＝AB＋BD，

∴AC＝AB＋BE，∴AC＝AE .

∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝600， ∴∠EAD＝∠CAD＝600÷2＝300 . ∵AD＝AD，

∴△AED≌△ACD，∴∠E＝∠C . ∵∠ABC＝2∠E，∴∠ABC＝2∠C . ∵∠BAC＝600，

∴∠ABC＋∠C＝1800－600＝1200，

3∠ABC＝1200，∴∠ABC＝800 . 2证法二：在AC上取一点F，使AF＝AB，连接DF. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠FAD . ∵AD＝AD，

∴△BAD≌△FAD，

∴∠B＝∠AFD，BD＝FD .

∵AC＝AB＋BD，AC＝AF＋FC ∴FD＝FC ，∴∠FDC＝∠C . ∵∠AFD＝∠FDC＋∠C， ∴∠B＝∠FDC＋∠C＝2∠C . ∵∠BAC＋∠B＋∠C＝1800， ∴∴

3∠ABC＝1200，∴∠ABC＝800 . 2

2. 如图，在△ABC中，∠ABC＝600，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB . 求证：AC＝AE＋CD .