内容发布更新时间 : 2024/5/17 2:54:23星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

课 题：3.4.1 基本不等式的证明（1） 教学目标：探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法； 重点难点：理解基本不等式 等号成立条件及 “当且仅当时取等号”的数学内涵 课 型 新授课 课堂教学模式 学生活动 教学过程： 一、创设情景 a?b1.提问：与ab哪个大？ 2a?b2.基本不等式ab?的几何背景： 2如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）． 二、学生讨论 问题1 我们把“风车”造型抽象成上图．在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的长为a，b，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？ 生答：a2?b2,a2?b2. 问题2 那4个直角三角形的面积和呢？ 生答 2ab． 问题3 好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，a2?b2?2ab.什么时候这两部分面积相等呢？ 生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即x?y时，正方形EFGH变成一个点，这时有a2?b2?2ab.

1

三、建构数学 1．重要不等式：一般地，对于任意实数 a，b，我们有a2?b2?2ab，当且仅当a?b时，等号成立． 问题4：你能给出它的证明吗？ (学生尝试证明后口答,老师板书) 证明：a2?b2?2ab?(a?b)2,当a?b时，(a?b)2?0,当a?b时,(a?b)2?0, 所以 a2?b2?2ab 注意强调：当且仅当a?b时, a2?b2?2ab 注意：（1）等号成立的条件，“当且仅当”指充要条件； （2） 公式中的字母和既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的变量式，因此应用范围比较广泛． 问题5：将a降次为a,b降次为b,则由这个不等式可以得出什么结论？ 2．基本不等式：对任意正数a，b，有a?b?ab,当且仅当2a?b时等号成立．（学生讨论回答证明方法） 证a?b?2法1：11ab?[(a)2?(b)2?2ab]?(a?b)2?0当且仅22当a?b即a?b时，取“?”． 证法2：要证ab?a?b，只要证2ab?a?b，只要证2只要证0?(a?b)2．因为最后一个不等式成立，0?a?2ab?b，所以ab?

2

a?b成立，当且仅当a?b即a?b时，取“=”号． 2证法3：对于正数a,b有(a?b)2?0， ?a?b?2ab?0?a?b?2ab,?说明： 把a?b?ab 2a?b和ab分别叫做正数a,b的算术平均数和几何2平均数，上述不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：（1）基本不等式成立的条件是：a?0,b?0； （2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）； （3）a?b?ab的几何解释：（如图1）以a?b为直径作圆，2a?b?CD?ab 2A 在直径AB上取一点C， 过C作弦DD??AB，则CD2?CA?CB?ab，从而CD?ab，而半径D 基本不等式ab? a?b几何意义是：“半径不小于半弦”； 2a C b B D? （4）当且仅当a?b时，取“?”的含义：一方面是当a?b时取等号，即 a?b?ab?（图1） a?b；另一方面是仅当a?b时取等号，即2ab?a?b?a?b； 2（5）如果a,b?R，那么a2?b2?2ab （当且仅当a?b时取“?”）； （6）如果把a?b看作是正数a、b的等差中项，ab看作是2正数a，b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 四、课堂小结

3