内容发布更新时间 : 2024/5/20 14:44:34星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

高等数学（上）基本概念与基本计算练习题

(参考答案)

一．求极限 1.lim(1?)n

n??2n2(?2)(1?)?lim{[1?(?)]} 解：limn??n??nnn?2nn2n?e?2 （毕）

2. lim?1?3x?

x?01x(1?3x)?lim{[1?(3x)]解：limx?0x?01x(1)3x}3xx?e3 （毕）

sin2x

x?0xsin2x2x解：lim?lim?2 （毕） x?0x?0xx14. limarctanx

x??x1?1 解： lim?0;arctanx??limarctanx?0 （毕）

x??xx??x2 3. lim5.limx?01?x?1 x解：limx?06． lim(1?x?1(1?x?1)(1?x?1)x1?lim?lim? （毕） x?0x?0xx(1?x?1)x(1?x?1)21) x?112?(x?1)?11)?lim(2)?lim()?? （毕） x?1x?1x?1x?12x?12?x?1x2?12解：lim(2?x?1x?17．limx?0? x0(1?et) dtxsinx x0t

解： x?0?lim(1?e) dtxsinx??limx?0 x0(1?et) dtx2(1?ex)?ex1?lim?lim?? （毕） x?0x?02x22?8 . limx?0?x20ln(1?t)dtx3

?解：limx?0?x20ln(1?t)dtx32xln(1?x2)2ln(1?x)2x2（毕） ?lim??lim?lim?

x?03x?0?x3x?0?x33x2

二．函数的连续性与间断点 1. 求函数f(x)?ln(x2?x?2)的连续区间.

解：因为对数函数是初等函数，所以该函数的定义域就是该函数的连

(x2?x?2)?0?(x-2)(x?1)?0?x?2或x??1为连续区间。续区间。即：

（毕）

2． 指出函数f(x)?(x?1)sinx的间断点,并判断间断点的类型 2x(x?1)解：该函数为初等函数，且在x?1,x??1,x?0点处无定义。因此，这三点就是该函数的间断点。又

limx?1sinxx(x2?1)?lim?1sinx lim??1，所以x?0为该函数的可去间断点；

x?0(x?1)x?0x1sinx1lim?sin1

x?1?0(x?1)x?1?0x2x?0x?1?0limx?1sinxx(x2?1)x?1sinxx(x2?1)?limx?1?0lim?lim?1sinx1lim??sin1

x?1?0(x?1)x?1?0x2函数在x?1点处，左右极限存在但不相等，所以x?1为跳跃型间断点；

limx?1sinxx(x2?1)?lim[x??1x??1?1sinx]??所以x??1为无穷间断点。

(x?1)x（毕）

?1?xsinx,?3.讨论函数f(x)??0,1?xsin,?x?x?0x?0在x?0处的连续性. x?0讨论：

f(0?0)?limf(x)?limsinx?1 ， x?0?0x?0?0x1f(0?0)?limf(x)?lim(xsin)?0， x?0?0x?0?0x又f(0)?0

因为f(0?0)?f(0)?f(0?0)

因此函数f(x)在x?0点处，只是右连续而非左连续。故函数f(x)在

x?0点处是间断的；x?0为第一类跳跃间断点。

（毕）

?sinx?ax，x?0?4.设f(x)??2，x?0,确定a,b,使f(x)为连续函数.

?ebx-1?x，x?0?解：只需选择a,b使函数f(x)在x?0点处连续即可。 因为：

f(0?0)?limf(x)?limx?0?0sinx1? ， x?0?0axaebx?1bxf(0?0)?limf(x)?lim?lim?b，又f(0)?2 x?0?0x?0?0x?0?0xx由f(0)?f(0?0)?f(0?0)?a?;b?2。 即：当a?,b?2时，函数f(x)为连续函数。 （毕）

5.证明方程ex?3x至少存在一个小于1的正根.

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