内容发布更新时间 : 2024/5/20 3:51:54星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

二、多元线性回归模型

在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。 （一）多元线性回归模型的建立

假设某一因变量y受k个自变量x1,x2,...,xk的影响，其n组观测值为（ya,x1a,x2a,...,xka），

a?1,2,...,n。那么，多元线性回归模型的结构形式为：

ya??0??1x1a??2x2a?...??kxka??a（3.2.11）

式中：

?0,?1,...,?k为待定参数； ?a为随机变量。

如果b0,b1,...,bk分别为?0,?1,?2...,?k的拟合值，则回归方程为

?=b0?b1x1?b2x2?...?bkxk（3.2.12）

式中：

b0为常数；

b1,b2,...,bk称为偏回归系数。

偏回归系数bi（i?1,2,...,k）的意义是，当其他自变量xj（j?i）都固定时，自变量xi每变化一个单位而使因变量y平均改变的数值。

根据最小二乘法原理，?i（i?0,1,2,...,k）的估计值bi（i?0,1,2,...,k）应该使

n???Q???ya?ya????ya??b0?b1x1a?b2x2a?...?bkxka???min（3.2.13）

?a?1?a?1n22有求极值的必要条件得

n??Q?????2??ya?ya??0??b0??a?1?（3.2.14） ??Qn??????2??ya?ya?xja?0(j?1,2,...,k)??a?1???bj将方程组（3.2.14）式展开整理后得：

nnnn?nb0?(?x1a)b1?(?x2a)b2?...?(?xka)bk??ya?a?1a?1a?1a?1?nnnnn2?(x)b?(x)b?(xx)b?...?(xx)b?xy????1a01a11a2a21akak1aa??a?1a?1a?1a?1a?1?nnnnn （3.2.15） ?2?(?x2a)b0?(?x1ax2a)b1?(?x2a)b2?...?(?x2axka)bk??x2ayaa?1a?1a?1a?1?a?1...?nnnnn?(x)b?(xx)b?(xx)b?...?(x2)b?xy?ka0????1aka12aka2kakkaa?a?1a?1a?1a?1?a?1

方程组（3.2.15）式，被称为正规方程组。 如果引入一下向量和矩阵：

?b0??1x11???y?1????b1??1x12y??b??b2?,Y??2?,X??1x13???...???...??......?y??b??1x?n?1n?k???1??x11A?XTX??x21??...?x?k1??n??n??x1aa?1n???x2a??a?1?...?n???xka?a?1x21x22x23...x2nx11x12x13...x1n...............xk1??xk2?xk3? ?...?xkn??...............xk1??xk2?xk3? ?...?xkn??1x12x22...xk2n1x13x23...xk3...1??1??...x1n??1...x2n??1??......??...?...xkn???1x21x22x23...x2nn?x?ka?a?1a?1a?1?nnn?x12ax1ax2a...?x1axka???a?1a?1a?1? nnn2x1ax2ax2...?x2axka???a?a?1a?1a?1............?nnn?2x1axka?x2axka...?xka???a?1a?1a?1??n???ya??11...1??y1??na?1?1??????xy?x11x12x13...x1n??y2???1aa?a?1?? T????B?XY?x21x22x23...x2ny3??n?????x2aya???...............??...??a?1?x??y??...?xx...xk2k3kn??n??k1?n????xkaya???a?1??x1a?x2an...

则正规方程组（3.2.15）式可以进一步写成矩阵形式

Ab?B（3.2.15’）

求解（3.2.15’）式可得：

b?A?1B?(XTX)?1XTY（3.2.16）

如果引入记号：

Lij?Lji??(xia?xi)(xja?xj)(i,j?1,2,...,k)

a?1nLiy??(xia?xi)(ya?y)(i?1,2,...,k)

a?1n则正规方程组也可以写成：

?L11b1?L12b2?...?L1kbk?L1y?Lb?Lb?...?Lb?L2112222kk2y??（3.2.15’’） ............??Lb?Lb?...?Lb?Lk22kkkky?k11??b0?y?b1x1?b2x2?...?bkxk

（二）多元线性回归模型的显著性检验

与一元线性回归模型一样，当多元线性回归模型建立以后，也需要进行显著性检验。与前面的一元线性回归分析一样，因变量y的观测值y1,y2,...,yn之间的波动或差异，是由两个因素引起的，一是由于自变量x1,x2,...,xk的取之不同，另一是受其他随机因素的影响而引起的。为了从y的离差平方和中把它们区分开来，就需要对回归模型进行方差分析，也就是将y的离差平方和ST或（Lyy）分解成两个部分，即回归平方和U与剩余平方和Q：

ST?Lyy?U?Q

在多元线性回归分析中，回归平方和表示的是所有k个自变量对y的变差的总影响，它可以按公式

U??(ya?y)??biLiy

a?1i?1n?2k计算，而剩余平方和为

Q??(ya?ya)?Lyy?U

a?1n?2以上几个公式与一元线性回归分析中的有关公式完全相似。它们所代表的意义也相似，即回归平方和越大，则剩余平方和Q就越小，回归模型的效果就越好。不过，在多元线性回归分析中，各平方和的自由度略有不同，回归平方和U的自由度等于自变量的个数k，而剩余平方和的自由度等于n?k?1，所以F统计量为：