竞赛培训讲义:数学归纳法(如皋中学:童云飞) 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/11/1 7:43:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第五讲:数学归纳法

数学归纳法是初等数论的基础,它刻画了整数的基本性质.虽然数学界仍然有一些数学家不认可数学归纳法,但是它在初等数论,组合数学,图论,离散数学的研究中被广泛运用,它在中学数学竞赛中的地位更是不言而喻,凡是遇到和自然数有关的命题都要考虑数学归纳法. 本讲我们主要介绍第一数学归纳法,第二数学归纳法,最小自然数原理,最大自然数原理以及它们的一些简单应用.这一部分内容大家可以参看《奥数教程》,《漫话数学归纳法》(苏淳著,中国科技大学出版社),《数列与数学归纳法》(单墫著,上海科技教育出版社). 一.数学归纳法的基本形式

1. 第一数学归纳法:设 P(n) 是关于正整数 n 的命题,如果 ① P(1) 成立(奠基步);

② 假设 P(k)(k为任意正整数) 成立,可以推出 P(k?1)成立(归纳递推步), 那么,P(n) 对一切正整数 n 都成立.

注1:如果 P(n) 定义在 N 上,则 ① 中 “P(1) 成立”应由 “P(0) 成立”取代.

注2: 第一数学归纳法有如下变化形式:

跳跃数学归纳法:设 P(n) 是关于正整数 n 的命题,如果 ① P(1),P(2),…, P(l) 成立(奠基步);

② 假设 P(k) 成立,可以推出 P(k?l)成立(归纳递推步), 那么,P(n) 对一切正整数 n 都成立.

2. 第二数学归纳法:设 P(n) 是关于正整数 n 的命题,如果 ① P(1) 成立(奠基步);

② 假设 n?k(k为任意正整数)时P(n)(1?n?k)成立,可以推出 P(k?1)成立 (归纳递推步),

那么,P(n) 对一切正整数 n 都成立.

二:例题选讲

1. 求证:?nk3?12k?14n(n?1)2

2. 设aan1?2,an?1?2?1a(n?N?),求证:2?a1n?2?nn.

3. 设 n?5 ,证明:每一个正方形可以分为 n 个正方形.

4. 已知数列{an} 满足 a0?2,a1?10,an?2?6an?1?an, 求证:an可以写成两个整数的平方和.

1

5. 设 正数p1,p2,p3,...,p2n 满足 p1?p2?p3?...?p2n?1,

证明:p1log2p1?p2log2p2?p3log2p3?...?p2nlog2p2n??n.

(xlog2x?(1?x)log2(1?x)??1)

6. 求证:对任何正整数 n,方程 x2?y2?zn 都有正整数解. 7. 设

f(n) 定

义在正整数集上,且满足

f(1)?2,f(n?1)?(f(n))2?f(n)?1(n?N?).

求证:对所有正整数n?1,1?111112. 2n?1?f(1)?f(2)?...?f(n)?1?22n

8. 实数列 {an} 满足 ai?j?ai?aj,i,j?N.

证明:对任意 n?N,都有aa21?2?a3a3?...?nn?an.

2

9. 证明:(1) 对一切正整数 n ,1?11122?32?...?n2?2.( 用数学归纳法证明 ) (2 ) 证明:对一切正整数 n ,1?111122?32?...?n2?2?n.

10. 求证:1?123?133?...?1n3?3(n?N?).

11. 证明:存在正整数的无穷数列 {an}: a1?a2?a3?...,使得对所有自然数 n,

a221?a2?...?a2n 都是完全平方数.

12. 证明:任何多项式都可以表示成两个单调递增的多项式之差.

3

13. 设 x1,x2,x3,...是互不相同的正实数,证明:x1,x2,x3,... 是一个等比数列的充要条件是:

对所有整数 n(n?2),都有 x1n?1x22n?xn?x21x?x22. 2k?1kxk?1x2?x1

14. 正整数数列 c1,c2,c3,... 满足下述条件:对任意正整数 m,n,若 1?m??n1ci,则存在

i?整数aanci1,a2,...,n,使得 m??. 问:对每个给定的 i?N*,ci 的最大值为多少?

i?1ai

15. 设 an1,a2,...,an 为正数,且 ?aj?1,又 0??1??2??3?...?n.

j?1证明:(?n?na(???)2jjaj)?(?)?1n.

j?1j?1?j4?1?n

16. 设 a?0,证明:a?2a?3a?...?na?a?1.

4

三:课后研讨题

1. 证明:对于一切自然数 n?3,都有 nn?1?(n?1)n. 2. 已知对一切 n?N*,an3n2n?0,且 ?aj?(?aj)j?1.

j?1证明:an?n.

3. 设 a?0,b?0, 且 11a?b?1.

证明:对一切自然数 n ,都有 (a?b)n?an?bn?22n?2n?14. 设 {a} 中的每一项都是正整数,并有 a1a2n?11n1?2;a2?7;?2?an?a?,n?3.

n?22证明:自从第二项开始,数列的各项都是奇数.

5. 设

k

是给定的正整数,r?k?12.记f(1()r)?f(?r)????r,f(l)(r)?f(f(l?1)(r)),l?2.(??x??表示不小于实数x的最小整数.)

证明:存在正整数m,使得f(m)(r)为一个整数.

6. 设实数 a1,a2,...,an 中任意两个的和非负,证明:对任意满足 x1?x2?...?xn?1 的

非负实数xx有 a221,2,...,xn, 1x1?a2x2?...?anxn?a1x1?a2x2?...?anx2n 成立.

5

r

7. 设 M?2n1?2n2?...?2ns,n1,n2,...,ns是互不相同的正整数, n1n2ns求证:22?22?...?22??1?2?M.

8. 证明:(1)对任何给定的自然数 n 和实数 x,都有

[x]?[x?12n?1n]?[x?n]?....?[x?n]?[nx]. ( [x] 表示不超过 x 的最大整数. )

(2) 对任何给定的自然数 n 和正实数 x,都有

[x]?[2x][2?....?nx]n?[nx].. ( [x] 表示不超过 x 的最大整数. )

9. 设 {an} 都是正实数列,且存在正的常数 c ,使得对所有 n,

a2?a2?a2212?...n?can?1.

证明:存在常数 b ,使得对所有 n,a1?a2?...?an?ban?1.

10. (Euler问题)证明:对任何自然数 n?3 ,数字 2n 都可以表示成 2n?7x2?y2

的形式,其中 x,y 都是奇数.

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