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现代测量数据处理方法

学生课题论文

论 文 题 目 ：最小二乘曲线拟合及其MATLAB实现 学 院 ：土木工程学院 年级专业班 ：2013级测绘工程一班 学 生 姓 名： 学 生 学 号： 指 导 老 师

提 交 时 间：2016年1月

成 绩 教师签名

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目 录

0 引 言........................................................................................................................................... 3 1 曲线拟合与最小二乘法概述 ....................................................................................................... 4

1.1 曲线拟合简介 ................................................................................................................... 4 1.2 最小二乘法简介 ............................................................................................................... 5 2 曲线拟合的最小二乘法原理 ....................................................................................................... 6

2.1 原理的阐述及理论公式推导 ........................................................................................... 6 2.2 结合实例分析与理解 ....................................................................................................... 8 2.3 总结归纳求解步骤 ......................................................................................................... 11 3 基于MATLAB的最小二乘曲线拟合 ........................................................................................... 12

3.1 MATLAB软件介绍 ............................................................................................................ 12 3.2 求解的基本理论阐述 ..................................................................................................... 13 3.3 结合实例进行MATLAB解算 ........................................................................................... 14 4 最小二乘曲线拟合案例分析与解算 ......................................................................................... 16

4.1 案例叙述 ......................................................................................................................... 16 4.2 数据输入与分析 ............................................................................................................. 17 4.3 进行拟合求解 ................................................................................................................. 18

4.3.1 手工解算 ............................................................................................................. 18

4.3.1 基于MATLAB的解算 ........................................................................................... 19 4.4 拟合函数的精度检测 ..................................................................................................... 21 4.5拟合函数在实际运用中的优势 ...................................................................................... 22 5 结 论........................................................................................................................................... 23 参考文献......................................................................................................................................... 24

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最小二乘曲线拟合及其MATLAB实现

陈涛1

（1. 重庆交通大学土木工程学院，重庆400074；）

摘 要

随着人类认识能力的不断进步以及计算技术的快速发展，对于变量之间的未知关系，应用曲线拟合的方法对揭示其内在规律具有重要的理论与现实意义。在科学实验数据的处理、分析时，实验数据拟合是经常采用的一种方法。本文将采用最小二乘法对给定的实验数据进行拟合并得到拟合曲线，加深大家对最小二乘曲线拟合原理的理解。同时将根据最小二乘拟合理论，并利用MATLAB数值分析软件进行编程，解决最小二乘曲线拟合在塔机起重量监测系统中的应用问题，实现相应案例数据的曲线拟合，获得了曲线模型对相应数据的拟合曲线，很好地解决了该工程案例的曲线拟合问题。

关键词：曲线拟合，最小二乘法，MATLAB

0 引 言

在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组数据?xi，yi??i?0,1，2，?，m?中，寻找自变量x与因变量y之间的函数关系y?F?x?。由于观测数据往往不准确，因此不要求y?F?x?经过所有带点?xi，yi?，而只要求在给定点?xi，yi?上的误差

T?i?F?xi?-yi?i?0,1,2，?，m?按某种标准最小。若记????0，?1，?2，?，?m?，

就是要求向量?的范数?最小。如果用最大范数，计算上困难较大，通常采用欧式范数

?2作为误差度量的标准。F?x?的函数类型往往与实验的物理背景以

及数据的实际分布有关，它一般含有某些待定参数。如果F?x?是所有待定参数

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的线性函数，那么相应的问题称为线性最小二乘问题，否则称为非线性最小二乘问题。最小二乘法还是实验数据参数估计的重要工具。这是因为这种方法比其他方法更容易理解，即使在其他方法失效的情况下，用最小二乘法还能提供解答，而且从统计学的观点分析，用该方法求得各项估计具有最优统计特征，因此这一方法也是系统识别的重要基础。

用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定S?x?的形式，然后利用最小二

乘曲线拟合去构造一个近似解析式y?f?x??S*?x?。利用该方法“拟合”出的函数曲线f?x??S*?x?虽然不能保证通过所有的样本点，但是很好地“逼近”了它们，充分反映了已知数据间内在的数量关系。因此，这种方法在生产实践和科学实验中具有广泛的应用前景。本文针对最小二乘曲线拟合的有关理论和应用问题以及相应的MATLAB实现进行探讨。

1 曲线拟合与最小二乘法概述

1.1 曲线拟合简介

实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。

曲线拟合是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对?xi，yi?（i＝1，2，…，m），其中各xi是彼此不同的 。人们希望用一类与数据的背景材料

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规律相适应的解析表达式，y?f?x,c?来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f?x,c?常称作拟合模型 ，在式中

c??c1,c2,?,cn?是一些待定参数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在各点的残差(或离差) ek?yk?f?xk,c?的加权平方和达到最小，此时所求曲线称作在加权最小二乘意义下对数据的拟合曲线。有许多求解拟合曲线的成功方法，对于线性模型一般通过建立和求解方程组来确定参数，从而求得拟合曲线。至于非线性模型，则要借助求解非线性方程组或用最优化方法求得所需参数才能得到拟合曲线，有时称之为非线性最小二乘拟合。

1.2 最小二乘法简介

最小二乘法是法国大数学家A.M.Legendre 最先于1805年发表的，其动机是为处理一类从天文学和测地学中提出的数据分析问题。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合，工程施工中，我们会经常取得一些相关的数据，这些数据往往来自与施工密切相关的测量或实验中，我们可以通过作图或多段插值取得变量之间的联系，但作图和插值查图往往误差较大。这时可采用最小二乘法先拟合出一个多项式，再根据此多项式求解任一自变量所对应的因变量较精确的结果，据此绘图可得到较精确、较合理的曲线。

1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星[2],经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神

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