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2006年上海市中学生业余数学学校预备年级招生试题

（10月6日 上午8∶30—9∶30） 本卷满分100分（7×4+8×4+10×4 =100）

1、有一列数8，88，888，…，888…888（88个8），他们的和的百位数是 4 。

解：个位88个8，十位87个8，百位86个8：88×8+87×80+86×800=704+6960+68800 =。。464

（或888×86+88+8）

2、若数20062006...20061006能被11整除，则n的

DPOCN/

/

/

/

???????n个2006Q最小值是 7 。

解：（6n +6）-（2n+1）=4n+5能整除11，试数n=7

AM2

B2

3、如图，ABCD、AMOQ、MBNO、ONCP、QOPD都是矩形，若矩形QOPD的面积为51cm，矩形ONCP的面积为17 cm，矩形MBNO的面积为29cm，则四边形MNPQ的面积为 92 cm。

解：矩形QOPD的面积为a×b=51cm，矩形ONCP的面积为b×c=17 cm，矩形MBNO的面积为c×d=29cm （a×b）（c×d）÷（b×c）=a×d=51×29÷17=87，则平行四边形一般定理（51+17+29+87）/2=92

4、1到100中，满足既是4的倍数加1，又是5的倍数减1的所有质数的和为 118 。 解：5的倍数减1，尾数为9或4（舍），枚举验证：29+89=118

5、一个五位数，五个数字各不相同，且是23的倍数，则符合条件的最小的数是 10235 。 解：[10234÷23]=444，试数445×23=10235

6、一些笔记本分给某班学生， 若只平均分给女生， 则每位女生可分得15本； 若只平均分给男生， 则每位男生可分得10本。 现将这些笔记本平均分给全班的每位学生， 则每人可分得 6 本。 解： [15，10]=30，则设共30n本，则女2n、男3n，则每人30/5=6本。

7、右图是一个五棱柱，共15条棱，如果把不相交的两条棱称为一对，那么图中不相交的棱有 75 对。 解：①先分析1条竖棱，有4条相交棱，则有10条不相交，即10对；

再分析下一条竖棱（之前讨论过的竖棱不再讨论） 则5条竖棱共有10+9+8+7+6=40对

②再分析上平面棱（之前讨论过的竖棱不再讨论），每棱不相交有7，合7×5=35对； 下底面重复，所以共75对

8、在一条长300米的公路一侧竖电线杆，原计划每隔4米竖一根，作好记号后，计划改动为每隔6米竖一根，则要擦掉 50 个记号，重新作 25 个记号。

解： [4，6]=12，每12米擦掉2个记号、重新作1个；300÷12=25，则50、25个

9、将1、2、3、4、5、6六个数字，分别组成两个三位数A和B，其中A>B，如果X=A-B，且X是45的倍数。那么X的所有的可能的值是 135、225、315 。

A2

2

2

2

2

解：X是45的倍数，即5和9的倍数。

研究5，AB尾数相同（不可能）或相差5，只有1-6或6-1。

边界法1～6组成的三位数最大差为546－231＝315，最小差为421－356＝65， 其间是45的倍数只有135、225、315

只有456－321＝135、456－231＝225、546－231＝315三个结果符合条件。

DF、FH、HB、BG、GE、EC中，最长的一条减去最短一条的差＝ 88/3 厘米。

BHFDCGE10、如图，等边三角形ABC边长为240厘米，用折线CDEFGH把它分成6个面积相等的小三角形，那么线段AD、解：边长80厘米。AD：AB=1：6=> AD=40/3、DB=80-40/3=200/3； DF：DB=1：4=>DF=50/3、FB=150/3；FH：FB=1：2=>FH=BH=75/3

同理：CE=16=48/3、GE=64/3、GB=128/3，则最长GB-最短AD=（128-40）/3=88/3

11、2006名学生排成一行，第一次从左到右1至3报数；第二次从右到左1至5报数；第三次从左到右1到5报数，则第三次报的数等于前面两次报的数之和的学生有 267 名。 解：[3，5]=15，如下表每轮有2次，另加1次至尾列。[2006÷15]=133，则266名+1=267 1 1 1

12、有5个不同的球A、B、C、D、E，要放进7个编号为1、2、3、4、5、6、7的盒子中，每个盒子最多只能放一个球，且A和B必须放进两个编号连续的盒子，C和D也必须放进两个编号连续的盒子，则有 240 种方法把球放进盒子。

解：∵A,B必须放在两个编号连续的盒子，C,D也必须放在两个编号连续的盒子里

∴把两个连续号码的数字看为一捆。则有6种不同捆。即12、23. 34. 45、56、67 大类方法1：第一次挑当头尾被挑时（即12、67.挑一）：2①×4②×2③×2④×3⑤ =96 ① 12.67.挑一

②另一组在还剩的4种不同捆中挑（例如果12被挑了。那么本来剩下5捆，但这里12中的2已经被

挑选了。

后面就不存在23这一捆。就只剩4捆了）

③AB中可A1，B2或A2,B1两种情况

④CD同AB分析

⑤E，因为已经被ABCD挑走 4 个数字了。在7个数字中还剩下3个数字可挑选。有3中情况 大类方法2：第一次挑不挑头尾时（即在23，34，45，56，挑一）4①×3②×2③×2④×3⑤=144

①除12.67外的剩下4捆挑

②另一组在还剩的3种不同捆中挑选 ③AB中可A1，B2或A2,B1两种情况 ④CD同AB分析

⑤E，因为已经被ABCD挑走 4 个数字了。在7个数字中还剩下3个数字可挑选。有3种情况

∴144+96=240

2 5 2 3 4 3 1 3 4 2 2 5 3 1 1 1 5 2 2 4 3 3 3 4 1 2 5 2尾 1 1 3 5 2 1 4 3 2 3 4 3 2 5