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高考题汇集-- 正弦定理和余弦定理

题组一 正、余弦定理的简单应用 1.(2009·广东高考)已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝6＋

2，且∠A＝75°，则b＝ ( ) A．2 B．4＋23 C．4－23 D.6－2 解析：如图所示．

在△ABC中，由正弦定理得 6＋2b

＝ sin30°sin75°＝＝4， sin?45°＋30°?∴b＝2. 答案：A

2．(2009·湖南高考)在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的取值范围为________． ACBC解析：由正弦定理得＝.

sin2AsinA即

ACAC1

＝.∴＝2.

2sinAcosAsinAcosA

AC

的值等于________，ACcosA

6＋2

∵△ABC是锐角三角形，

πππ

∴0＜A＜，0＜2A＜，0＜π－3A＜，

222ππ

解得＜A＜.

64

由AC＝2cosA得AC的取值范围为(2，3)． 答案：2 (2，3)

3．(2009·全国卷Ⅰ)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b. 解：由余弦定理得

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a2－c2＝b2－2bccosA.

又a2－c2＝2b，b≠0，所以b＝2ccosA＋2. ① 又sinAcosC＝3cosAsinC， sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC， sin(A＋C)＝4cosAsinC， sinB＝4sinCcosA.

b

由正弦定理得sinB＝sinC，

c

故b＝4ccosA. ② 由①、②解得b＝4.

题组二 利用正、余弦定理判断三角形的形状 Ac－b4.在△ABC中，sin2＝(a、b、c分别为角A、B、C的对应边)，则△ABC的形状为

22c

( )

A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 1－cosAc－b

解析：sin＝＝，

222c

2A

222bb＋c－a

∴cosA＝＝?a2＋b2＝c2，符合勾股定理．

c2bc

答案：B

5．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是 ( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 解析：法一：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π， 即C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)． 由2sinAcosB＝sinC，

得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB， 即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0.

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又因为－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B. 所以△ABC是等腰三角形． 法二：利用正弦定理和余弦定理 2sinAcosB＝sinC可化为

a2＋c2－b22a·＝c，即a2＋c2－b2＝c2，即a2－b2＝0，

2ac即a2＝b2，故a＝b.所以△ABC是等腰三角形． 答案：B

题组三 三角形面积公式的应用 π6.在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝，则△ABC的面积等于 ( )

6A.C.

33 B. 24333或3 D.或 224

ABACABsinB3解析：由正弦定理知＝，∴sinC＝＝，

ACsinCsinB2π2πππ33

∴C＝或，A＝或，∴S＝或.

332624答案：D

7．在△ABC中，面积S＝a2－(b－c)2，则cosA＝ ( ) 815A. B. 17171313C. D. 1517

1

解析：S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝2bc－2bccosA＝bcsinA，∴sinA＝4(1－

2cosA)，16(1－cosA)2＋cos2A＝1，∴cosA＝答案：B

π4

8．(2009·北京高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cosA＝，35b＝3.

(1)求sinC的值； (2)求△ABC的面积．

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