内容发布更新时间 : 2025/7/9 21:42:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第二篇 函数及其性质 专题2.03 函数的奇偶性与周期性
【考试要求】
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义； 2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义. 【知识梳理】 1.函数的奇偶性
奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特点 关于y轴对称 奇函数 2.函数的周期性 关于原点对称 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 【微点提醒】
1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 3.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝
1
，则T＝2a(a>0). f（x）
1
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
f（x）4.对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称. 【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
1
(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.( ) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( )
(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.( )
(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.( )
【教材衍化】
2.(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( ) A.y＝x2sin x C.y＝|ln x|
3.(必修4P46A10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝
2??－4x＋2，－1≤x<0，3??则f??2?＝________. ?x，0≤x<1，?
B.y＝x2cos x D.y＝2x
－
【真题体验】
4.(2019·济南调研)下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
1
A.y＝x3 C.y＝|x|
B.y＝x4 D.y＝|tan x|
5.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.
2
6.(2019·上海崇明区二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则当x∈[1，2]时，f(x)＝________.
【考点聚焦】
考点一 判断函数的奇偶性 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝3－x2＋x2－3； lg (1－x2)(2)f(x)＝；
|x－2|－2
2??x＋x，x<0，
(3)f(x)＝?2
?－x＋x，x>0.?
【规律方法】 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
【训练1】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A.y＝x＋sin 2x 1
C.y＝2x＋x
2
B.y＝x2－cos x D.y＝x2＋sin x
xx
(2)已知f(x)＝x，g(x)＝，则下列结论正确的是( )
22－1A.f(x)＋g(x)是偶函数 B.f(x)＋g(x)是奇函数 C.f(x)g(x)是奇函数 D.f(x)g(x)是偶函数
考点二 函数的周期性及其应用
【例2】 (1)(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
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