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专题四 三角函数与解三角形

第十二讲 解三角形

答案部分 2019年

1.解：（1）由已知得sinB?sinC?sinA?sinBsinC，故由正弦定理得b?c?a?bc．

222222b2?c2?a21?． 由余弦定理得cosA?2bc2因为0?A?180，所以A?60．

?（2）由（1）知B?120?C，由题设及正弦定理得2sinA?sin120?C?2sinC，

??????即6312?cosC?sinC?2sinC，可得cos?C?60????． 2222??由于0?C?120，所以sinC?60????2，故 2sinC?sin?C?60??60??

?sin?C?60??cos60??cos?C?60??sin60?

?6?2． 42.解析：由余弦定理有b2?a2?c2?2accosB， 因为b?6，a?2c，B?所以c2?12，S△ABC?ππ222，所以36?(2c)?c?4ccos，

331acsinB?c2sinB?63. 23.解析（1）由题设及正弦定理得sinAsinA?C?sinBsinA． 2因为sinA?0，所以sinA?C?sinB． 2A?CBBBB?cos，故cos?2sincos． 22222由A?B?C?180?，可得sin高考真题专项分类（理科数学）第1页—共21页

因为cosBB1?0，故sin?，因此B?60?． 2223a． 4（2）由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC?sin?120??C?csinA31由正弦定理得a????．

sinCsinC2tanC2由于△ABC为锐角三角形，故0??A?90?，由（1）知A?C?120?，所以30??C?90?，0??C?90?，故

133?a?2，从而． ?S△ABC?282?33?因此，△ABC面积的取值范围是??8,2??．

??4.解析 设AO??AD??2(AB?AC)，

1??AB??AC， 3AO?AE?EO?AE??EC?AE??(AC?AE)?(1??)AE??AC?1??1?????????2?32所以?，解得?，

???????1???4?2111AD?(AB?AC)，EC?AC?AE??AB?AC， 24322113126AO?EC?6?(AB?AC)?(?AB?AC)?(?AB?AB?AC?AC)?

432332213?AB?AB?AC?AC， 2222221313因为AB?AC??AB?AB?AC?AC，所以AB?AC，

2222所以AO?所以

ABAC22?3，所以

AB?3. ACa2?c2?b22(3c)2?c2?(2)215.解析 （1）由余弦定理cosB?，得?，即c2?.

32?3c?c2ac3所以c?3. 3（2）因为

sinAcosB， ?a2b高考真题专项分类（理科数学）第2页—共21页

abcosBsinB，得，所以cosB?2sinB. ??sinAsinB2bb42222从而cosB?(2sinB)，即cosB?41?cosB，故cos2B?.

5由正弦定理

??因为sinB?0，所以cosB?2sinB?0，从而cosB?25. 5因此sin?B???π?25. ?cosB??2?54， 56.解析：在直角三角形ABC中，AB?4，BC?3，AC?5，sinC?在△BCD中，

122BDBC?，可得BD?；

5sinCsin?BDC?CBD?135?C，sin?CBD?sin(135?C)?22?43?72， (cosC?sinC)??????22?55?1072. 10所以cos?ABD?cos90??CBD?sin?CBD???

7.解析：（I）由余弦定理b2?a2?c2?2accosB，得b2?32?c2?2?3?c????1??. ?2?因为b?c?2，所以?c?2??32?c2?2?3?c???所以b?7. （II）由cosB??2?1??.解得c?5， 2??3c531得sinB?.由正弦定理得sinC?sinB?. 2b142在△ABC中，?B是钝角，所以?C为锐角.所以cosC?1?sin2C?所以sin?B?C??sinBcosC?cosBsinC?8.解析（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理

11. 1443. 7bc，得bsinC?csinB，又由3csinB?4asinC，?sinBsinC高考真题专项分类（理科数学）第3页—共21页

得3bsinC?4asinC，即3b?4a.又因为b?c?2a，得到b?42a，c?a. 33416a2?a2?a2a?c?b199由余弦定理可得cosB????.

2242?a?a3222（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinB?1?cos2B?15， 4从而sin2B?2sinBcosB??157，cos2B?cos2B?sin2B??， 88故sin?2B?

??π?ππ1537135?7. ?sin2Bcos?cos2Bsin????????6?66828216 2010-2018年

1．A【解析】因为cosC?2cosC13?1?2??1??，所以由余弦定理， 2553222得AB?AC?BC?2AC?BCcosC?25?1?2?5?1?(?)?32，

52所以AB?42，故选A．

1a2?b2?c22．C【解析】根据题意及三角形的面积公式知absinC?，

24a2?b2?c2??cosC，所以在?ABC中，C?．故选C． 所以sinC?2ab43．A【解析】由sinB(1?2cosC)?2sinAcosC?cosAsinC，

得sinB?2sinBcosC?sinAcosC?sinB，

即2sinBcosC?sinAcosC，所以2sinB?sinA，即2b?a，选A． 4．A【解析】由余弦定理得13?9?AC2?3AC?AC?1,选A.

5．C【解析】设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得

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