内容发布更新时间 : 2024/5/24 4:05:37星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

《概率论与数理统计》第二章复习题解答

1. 将4只球（1-4号）随机放入4只盒子（1-4号）中去，一只盒子只放一球. 如一只球装入了与之同号的盒子, 称形成了一个配对. 记X为总的配对数, 求X的分布律.

解：P(X?4)?11； ?4!24P(X?3)?P(Φ)?0——因为当3个球形成配对时，另1个球一定也形成配对；

2C4?11P(X?2)?? ——当4个球中的某2个形成配对时，另2个球（标号a,b）都不形成配对的放法只

4!41种，即分别放入标号b,a的盒中；

1C4?21P(X?1)?? ——当4个球中的某1个形成配对时，另3个球都不形成配对的放法只2种：以abc

4!3记3个空盒的号码排列，则3个球只能以bca或cab的次序对应放入3个盒中；

P(X?0)?1?

1119. 于是，分布律为 ?0???244324X pk 0 1 2 1/4

3 0 4 1/24 9/24 1/3 2. 盒中装有10个大小相等的球, 编号为0-9. 从中任取一个, 在号码“小于5”、“等于5”、“大于5”三种情况下，分别记随机变量X?0,1,2. 求X的分布律、分布函数、分析Y?(X?1)服从什么分布.

解：（1）10个球中号码“小于5”、“等于5”、“大于5”分别有5、1、4个，于是X的分布律为

X pk 0 0.5 1 0.1 2 0.4 2? 0, x?0?0.5, 0?x?1?2（2）X的分布函数为FX(x)??； （3）Y?(X?1)分布律为

?0.6, 1?x?2?? 1, x?2

Y pk 0 0.1 1 0.9

即Y?(X?1)服从参数为0.9的0-1分布. 3. 设随机变量X的分布密度为fX(x)?Ae的分布函数;（4）Y?1?X2的分布密度.

?x2,???x??. 求（1）A的值;（2）P(?1?X?2);（3）X解：（1）

?????1?xe,x?0??1?2； fX(x)dx?2?Ae?xdx?2A?1, ?A?，?fX(x)??012? ex,x?0??2211x1?1?x?2edx?edx?1?(e?e)； ??12?0220（2）P(?1?X?2)?（3）FX(x)??x??x11x?t edt?e, x?0???2??2fX(t)dt??；

01x11t?t?x?edt?edt?1?e, x?0???022???22（4）FY(y)?P(Y?y)?P(1?X?y)?P(X2?1?y)?1?P(X2?1?y)

??1?P(?1?y?X?1?y),y?1??1?FX(1?y)?FX(?1?y),y?1???? ? 1?0, y?1? 1, y?1? ? 1?[f(1?y)?f(?1?y)],y?1X?X21?y求导得fY(y)??

? 0, y?1?1?1?1?y1?1?y?1?1?y[e?e], y?1e,y?1?2?221?y????21?y. ? 0, y?1? 0, y?1?? ?1?e?0.1x,x?04. 根据历史资料分析, 某地连续两次强地震间隔的年数X的分布函数为F(x)??，现在该地

0, x?0? 刚发生了一次强地震，求（1）今后3年内再发生强地震的概率；（2）今后3-5年内再发生强地震的概率；（3）X的分布密度f(x)，指出X服从什么分布.

解：（1）P(X?3)?F(3)?1?e?0.1?3?0.26；

?0.1?5（2）P(3?X?5)?F(5)?F(3)?(1?e?0.1x)?(1?e?0.1?3)?0.13.

1x?1?10?0.1e,x?0?e,x?0??10（3）X的分布密度f(x)??，故X服从参数为10的指数分布.

0, x?0?? 0, x?0? 5.（1）设X~b(2,p), Y~b(3,p), 且P(X?1)?5, 求P(Y?1). 9（2）设X~P(?), 且P(X?1)?P(X?2), 求P(X?4).

（3）设X~N(?,?)，试分析当??时，概率P(X????)的值将如何变化.

2521，故1?p?，p?. 933123193从而Y~b(3,), ?P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?p)?1?()?.

3327解：（1）X~b(2,p)，?P(X?1)?1?P(X?0)?1?(1?p)?2（2）X~P(?), 且P(X?1)?P(X?2), 即

?11!e????22!e??, 亦即?2?2?, 又??0, ???2.

2k?224?22?2e, k?0,1,2?. 于是P(X?4)?e?e. 从而X~P(2), P(X?k)?4!3k!（3）X~N(?,?)，故P(X????)?P(????X????)??(1)??(?1)?2?(1)?1?0.6826. 故当??时，概率P(X????)的值保持不变, 始终是常数0.6826.

6. 设某城市男子的身高(单位:cm)X~N(170,6).（1）应如何设计公共汽车的车门高度, 才能使该地男子与车门碰头的概率小于0.01？（2）若车门高度为182cm, 求100个男子中会与车门碰头的人数至多是1的概率.

解：（1）设公共汽车的车门高度应为xcm. 则 要使P(X?x)?1?P(X?x)?1??(于是x?183.98即可.

（2）若车门高度为182cm, 则1个男子会与车门碰头的概率为

22x?170x?170x?170)?0.01, 只须?()?0.99??(2.33), 从而只要?2.33, 666182?170p?P(X?182)?1?P(X?182)?1??()?1??(2)?0.0228

6设100个男子中会与车门碰头的人数为Y, 于是Y~b(100,0.0228), 从而

01P(Y?1)?P(Y?0)?P(Y?1)?C1000.022800.9772100?C1000.022810.977299?0.34.

7. 设带有3颗炸弹的轰炸机向敌人的铁路投弹, 若炸弹落在铁路两旁40米以内, 即可破坏铁路交通. 记弹落点与铁路的距离为X(单位: 米), 落在铁路一侧时X的值为正, 落在另一侧时为负. X的概率密度为

?100?x?10000,?100?x?0??100?xf(x)??, 0?x?100

10000?? 0, 其它??若3颗炸弹全部使用, 求敌人铁路交通受到破坏的概率.