内容发布更新时间 : 2024/5/20 8:23:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点B坐标代入直线解析式，求出m的值，然后把A、B坐标代入二次函数解析式，求出a、b，即可求得解析式；

（2）设动点P的坐标为（n，n+2），点C的坐标为（n，2n2﹣8n+6），表示出PC的长度，然后利用配方法求出二次函数的最大值，并求出此时n的值． 【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上， ∴m=6，即B（4，6），

∵A（，）和B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上， ∴解得：

，

，

∴抛物线的解析式y=2x2﹣8x+6；

（2）存在．

设动点P的坐标为（n，n+2），点C的坐标为（n，2n2﹣8n+6）， ∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）=﹣2n2+9n﹣4=﹣2（n﹣）2+∵﹣2＜0，

∴开口向下，有最大值， ∴当n=时，线段PC有最大值

．

，

【点评】本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求函数解析式，配方法求最值等知识点，解答本题案的关键是根据解析式设出点P和点C的坐标，列出PC的代数式．

2．在平面直角坐标系中，已知y=﹣x2+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．

（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．

（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．

（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．

时，

【分析】（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式； （2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离

时，到达P′，作

P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，根据直线AC的斜率求得△P′PM是等腰直角三

角形，进而求得抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，从而求得平移后的解析式，进而求得与x轴的交点，与直线AC的交点，即可证得结论；

（3）如答图3所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由分析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B′F的长度．

【解答】解：（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3）

∴点B的坐标为（4，﹣1）．

∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点， ∴

解得：b=2，c=﹣1，

∴抛物线的函数表达式为：y=﹣x2+2x﹣1．

（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，

∵点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3）， ∴直线AC的解析式为y=x﹣1， ∵直线的斜率为1，

∴△P′PM是等腰直角三角形， ∵PP′=

，

时，到达P′，作

，

∴P′M=PM=1，

∴抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位， ∵y=﹣x2+2x﹣1=﹣（x﹣2）2+1，

∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣（x﹣3）2+2， 令y=0，则0=﹣（x﹣3）2+2， 解得x1=1，x2=5，

∴平移后的抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0），