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广州市2014届高三年级调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根

据比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题

的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 D C A D A B C A

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，

满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．

题号 9 10 11 12 13 14 15

?33?1, ??1,0? 36 3 4 1 答案 ??? ??

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

333解：（1）在△ABC中，A?B?C??．………………………………………………………………1分

所以cosA?C??B …………………………………………………………………………2分 ?cos22?sinB3?．………………………………………………………………………3分 232所以cosB?1?2sinB ……………………………………………………………………………5分 21?．………………………………………………………………………………………7分 31（2）因为a?3，b?22，cosB?，

3由余弦定理b?a?c?2accosB，………………………………………………………………9分 得c?2c?1?0．……………………………………………………………………………………11分 解得c?1．……………………………………………………………………………………………12分

1

222217．（本小题满分12分） 解：（1）由茎叶图可知，甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数

为5天．…………………………………………………………………………………………………1分 所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天．…………2分 （2）X的取值为0，1，2，………………………………………………………………………………3分

02C5C103?，………………………………………………………………………5分 因为P?X?0??2C1571C1105C10P?X?1???，……………………………………………………………………………7分 2C152120C5C102P?X?2???．…………………………………………………………………………9分 2C1521所以X的分布列为：

1 0 2 ……………………10分 3102 P 2172131022所以数学期望EX?0??1??2??．…………………………………………………12分

721213X

18．（本小题满分14分）

（1）证明1：因为AB?2BC，?ABC?60，

在△ABC中，由余弦定理可得AC?3BC．……………………………………………………2分 所以AC?BC?AB．

222

?所以AC?BC．………………………………………………………………………………………3分

因为AC?FB，BF?BC?B，BF、BC?平面FBC，

所以AC?平面FBC．………………………………………………………………………………4分

??证明2：因为?ABC?60，设?BAC??0???120，则?ACB?120??．

????在△ABC中，由正弦定理，得

BCAB?．…………………………………………1分 ?sin?sin?120????因为AB?2BC，所以sin120???2sin?．

??整理得tan??3?，所以??30．…………………………………………………………………2分 3所以AC?BC．………………………………………………………………………………………3分 因为AC?FB，BF?BC?B，BF、BC?平面FBC，

所以AC?平面FBC．………………………………………………………………………………4分

（2）解法1：由（1）知，AC?平面FBC，FC?平面FBC，

2

所以AC?FC．

因为平面CDEF为正方形，所以CD?FC．

因为AC?CD?C，所以FC?平面ABCD．……………………………………………………6分 取AB的中点M，连结MD，ME，

因为ABCD是等腰梯形，且AB?2BC，?DAM?60，

所以MD?MA?AD．所以△MAD是等边三角形，且ME?BF．…………………………7分

E F 取AD的中点N，连结MN，NE，则MN?AD．………8分 因为MN?平面ABCD，ED?FC，所以ED?MN． 因为AD?ED?D，所以MN?平面ADE． ……………9分 所以?MEN为直线BF与平面ADE所成角． ……………10分 因为NE?平面ADE，所以MN?NE．…………………11分 因为MN?N A M D ?C B 3AD，ME?MD2?DE2?2AD，…………………………………………12分 2MN6?．……………………………………………………13分 ME4在Rt△MNE中，sin?MEN?所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为

6．………ks5u……………………14分 4解法2：由（1）知，AC?平面FBC，FC?平面FBC，

所以AC?FC．

因为平面CDEF为正方形，所以CD?FC．

因为AC?CD?C，所以FC?平面ABCD．……………………………………………………6分

所以CA，CB，CF两两互相垂直，

建立如图的空间直角坐标系C?xyz．………………………7分 因为ABCD是等腰梯形，且AB?2BC，?ABC?60 所以CB?CD?CF．

不妨设BC?1，则B?0,1,0?，F?0,0,1?，AD ?E z F ?3,0,0，

x A ?C B y ?31??31?D?,?,0E,?,1?，， ???2???2?2???2?????????31?????所以BF??0,?1,1?，DA???2,2,0??，DE??0,0,1?．………………………………………9分

???????3y?n?DA?0,x??0,??设平面ADE的法向量为n=(x,y,z)，则有????即?2 ?2??n?DE?0.??z?0.

3