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2016年美国大学生数学建模竞赛题目

第５卷第２期 ２０１６年６月 、?．．．．?

‘．¨．．．‘－．．．．．’．．．Ⅲ’¨．．．．‘．．．．．．‘．．．¨．！数学建模及其应用ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａＩＭＯｄｅ¨ｎｇａｎｄｌｔｓＡｐｐＩｉＣａｔｉＯｎｓＶＯＩ．５Ｎｏ．２Ｊｕｎ．２０１６ ｛竞赛论坛｝

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２０１６年美国大学生数学建模竞赛题目 韩中庚译

（解放军信息工程大学四院，河南郑州４５０００１） 问题Ａ：热水澡

人们经常会通过用一个水龙头将浴缸注满热水，然后坐在浴缸里清洗和放松。这个浴缸不是带有二次加热系统和循环喷流的温泉式浴缸，而是一个简单的水容器。过一会儿，洗澡水就会明显变凉，所以洗澡的人需要不停地从水龙头注入热水，以加热洗浴的水。该浴缸的设计是这样一种方式，即当浴缸里的水达到容量极限时，多余的水就会通过溢水口流出。考虑空间和时间等因素，建立一个浴缸的水温控制模型，以确定最佳策略，使浴缸里的人可以利用这个策略让整个浴缸中的水保持或尽可能接近初始的温度，而且不浪费太多的水。

利用你们的模型来确定这个策略对浴缸的形状和体积，以及对浴缸中人的形状、体积、温度和活动等因素的依赖程度。如果这个人一开始用了一种泡泡浴剂加入浴缸中以助清洗，这会对你们的模型结果有怎样的影响？

除了要求提交１页的ＭＣＭ摘要之外，你们的报告必须包括１页为浴缸用户准备的非技术性的说明书，来阐述你们的策略，同时解释为什么保持洗澡水的恒温如此之难。

问题Ｂ：太空垃圾

地球轨道上的小碎片数量已引起人们越来越多的关注。据估计，目前有超过５０００００块的空间碎片，也被称为轨道碎片，由于被认为对空间飞行器是潜在的威胁而正在被跟踪。２００９年２月１０日，俄罗斯卫星Ｋｏｓｍｏｓ一２２５１和美国卫星Ｉｒｉｄｉｕｍ一３３相撞之后，该问题受到了新闻媒体更广泛的讨论。 目前提出了一些清除碎片的方法，这些方法包括使用微型的基于太空的喷水飞机和高能量的激光来针对一些特定的碎片，以及设计大型卫星来清扫碎片。碎片按照大小和质量的不同，从刷了油漆的薄片到废弃的卫星都有，碎片的高速运行轨道使得捕捉它十分困难。

试建立一个随时间变化的模型，确定最佳的方法或组合方法，为一个私营企业提供解决空间碎片问题的商机。你们的模型应该包括定量和／或定性地对成本、风险、收益的估计，并考虑其他相关的一些主要因素。你们的模型应该能够评估一种方法，以及组合方法，并能够解释各种重要情形。

利用你们的模型，试讨论这个商机是否存在。如果存在可行的解决方案，试比较不同的去除碎片的方案，并给出具体的方案是如何清除碎片的。如果没有这种可能的商机，请你们提供一个创新性的方案来避免碰撞。

除了ＭＣＭ要求提交的１页摘要外，你们还应提交１份２页纸的执行报告，要介绍你们所考虑的所有方案和主要的建模结果，并且利用你们的研究提供一个合理的行动建议，可以是单一的具体行动、联合行动，或不采取行动。这个执行报告是写给那些没有技术背景的高层政策制定者和新闻媒体分析者看的。 问题Ｃ：Ｇｏｏｄｇｒａｎｔ的挑战

Ｇｏｏｄｇｒａｎｔ基金会是一个慈善组织，其目的是提高美国高校就读的本科生的教育绩效。为此，基金

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?竞赛论坛?２０１６年美国大学生数学建模竞赛题目２０１６年６月会计划从２０１６年７月开始的５年中，每年捐赠１亿美元给符合条件的学校。在这样做时，他们不想重复投资和关注其他大型的捐赠组织，如盖茨基金会和基金会所。 Ｇｏｏｄｇｒａｎｔ基金会要求你们的团队建立一个模型来确定最优投资策略，确定需要投资的学校、每个学校的投资额、这项投资的回报以及所需要持续的投资时间，以使得最有可能对学生表现有显著的正面影响。这个策略应该包含一个优化的和优先推荐的１到Ｎ个学校列表，而这些学校的选择都是基于已表明能够有效利用私人投资、有潜力的学校候选名单之中。此外，你们的策略还应包括适合诸如Ｇｏｏｄｇｒａｎｔ基金组织投资的预估投资回报。

为了助你们一臂之力，附录中的数据文件（ｐｒｏｂｌｅｍｃｄａｔａ．ｚｉｐ）包含从美国国家教育统计中心（ｗｗｗ．ｎｃｅｓ．ｅｄ．ｇｏｖ／ｉｐｅｄｓ）提取的信息。它包含一个几乎所有的美国大学调查信息数据库和大学记分卡数据（ｈｔｔｐｓ：／／ｃｏｌｌｅｇｅｓｃｏｒｅｃａｒｄ．ｅｄ．ｇｏｖ），以及各种制度绩效数据。你们的模型和随后的投资策略必须基于这２个数据中一些有意义且可靠的数据。

除了ＭＣＭ要求提交的ｌ页摘要外，你们的报告必须包括给Ｇｏｏｄｇｒａｎｔ基金会首席财务官（ＣＦＯ）Ｍｒ．ＡｌｐｈａＣｈｉａｎｇ的一封信，描述你们的最优投资策略、你们的建模方法和主要结果，并简要地讨论你们提出的投资回报，以便于让ＧＯＯｄｇｒａｎｔ基金会用来评估２０１６年的捐款和未来在美国的慈善教育投资。这封信的长度不超过２页。 问题Ｄ：评估社会信息网络的演变和影响

在当今这个互联技术的通讯网络中，信息传播迅速，有时是由于信息本身的内在价值，也有时是由于信息传播到了有影响力的或网络中心的节点，从而加速其在社交媒体的传播。虽然内容发生了改变——在１９世纪，新闻更多地是关于当地的事件（如婚礼、暴风雨、死亡），而不是猫或艺人的社会生活的视频——但是共享信息（重要的和平常的）这种文化特征的前提条件是一直存在的。然而，信息传播