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相似三角形

【知识梳理】

1、比例线段的有关概念：

ac 在比例式??(a：bc：d)中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，bdb、d叫后项，d叫第四比例项，如果b＝c，那么b叫做a、d的比例中项。

2、平行线分线段成比例定理：

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。

ABDEABDEBCEF

则?，?，?，… BCEFACDFACDF

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 4、相似三角形的判定：

①两角对应相等，两个三角形相似

②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似

④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 5、相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例

③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方

3、常见三角形相似的基本图形、基本条件和基本结论：

（1）如图1，当 时，?ABC∽?ADE

（2）如图2，当 时，?ABC∽ ?AED。 （3）如图3，当 时，?ABC∽ ?ACD。

D DED E

BBCCB 图1图2图3

（4）如图4，如图1，当AB∥ED时，则△ ∽△ 。 （5）如图5，当 时，则△ ∽△ 。

A

AAC1

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ACBA'C'E'EDD'AB'图4 图5

（6）如右图，特殊图形（双垂直模型） ∵∠BAC＝90° AD?BC∴ ?ADC∽?BDA∽?BAC

【例题精讲】

BDC【例1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AE⊥BD，交BC于点E，求证：

BE=2EC。

DA

【巩固】如图，△ABC是一个等腰三角形，其中AB=AC，若∠B的角平分线交AC于D且BC=BD+AD，设∠A=c°，求c的值。

【例2】如图，梯形ABCD中，AD∥BC（AD

ADBCADBEC6S梯形ABCD，25

O2

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【巩固】1、如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE:CE=2:3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S?DEF:S?EBF:S?ABF?（ ）

A.4:10:25 B.4:9:25 C.2:3:5 D.2:5:25

2、如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若S?D0E:S?COB?9:16，则AD:DB=____________。

BDOCEAADFBECAB?AF?AC?DF。【例3】已知如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E为AC中点，求证：

A

【巩固】已知如图，AE为△ABC的角平分线，D为AB上一点，并且∠ACD=∠B，CD交AE于

BDFECF，求证：CE?CF?FD?BE。

CEFBD3

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【例4】如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，点D是BC上任意一点，连结AD，过D作AB、AC的垂线，垂足分别为E、F，求证：DE+DF的长是定值。

BED图1FCA

【巩固】如图2，在等腰△ABC中，AB=AC，点D?在BC的延长线上，过D?作AB、AC的垂线，垂足分别为M、N，求证：D?M?D?N的长是定值。

【例5】如图，在△ABC中，D为BC上任意一点，连结AD，P为AD上任意一点，连结PB、

B图2NMCD'APC，求证：

S?ABPBD。 ?S?APCDCA4

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【巩固】用面积法证明下述定理：

（1）在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，求证：AB:AC=BD:DC。

（2）（赛瓦定理）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AC、AB上，连结AD、BE、CF交于点O，求证：

（3）（梅内劳斯定理）如图，一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，BA（或其延长线）分别交于D，E，F。求证：

FBDECBFOEBDCEAF???1。 DCAEFBADCBDCEAF???1。 DCEAFBA 5

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【拓展】如图，在△ABC中，D是BC边中点，G是AD（不包括A、D两点）上一动点，BG、

CG的延长线分别交AC、AB于点F、E。

（1）求证：

AEAF?； EBFCAS?S?CGFAE?x，用含x的代数式表示?BGE（2）设， EBS?ABC并求出它的最大值。

BEGFDC 6