内容发布更新时间 : 2025/12/2 3:14:49星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是( D )
50
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且a＝7 50
B．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且c＝7 150
C．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且a＝7 150
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且c＝7
111
解析：由题意，可得a，b，c依次成公比为2的等比数列，b＝2a，c＝2b，故4c50
＋2c＋c＝50，解得c＝7.故选D.
3．在各项均为正数的等比数列{an}中，若am＋1·am－1＝2am(m≥2)，数列{an}的前n项积为Tn，若T2m－1＝512，则m的值为( B ) A．4 C．6
B.5 D.7
解析：由等比数列的性质，可知am＋1·am－1＝a2m＝2am(m≥2)，所以am＝2，即数列{an}为常数列，an＝2，所以T2m－1＝22m－1＝512＝29，即2m－1＝9，所以m＝5，故选B.
14．(2018·贵阳适应性考试)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，a2a6＝8(a4－2)，则S2 018＝( A ) A．2C．2
2 017
1
－2 ?1?2 017
B.1－?2?
???1?2 018
D.1－?2?
??
2 018
1－2
1
解析：由a1＝2，a2a6＝8(a4－2)，得q6－16q3＋64＝0，所以q3＝8，即q＝2，所
a1?1－q2 018?2 0171
以S2 018＝＝2－2.故选A.
1－q
5．(2016·高考天津卷)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的( C ) A．充要条件 C．必要而不充分条件
B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由题意，得an＝a1qn－1(a1>0)，a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)．若q<0，因为1＋q的符号不确定，所以无法判断a2n－1＋a2n的符号；反之，若a2n－1＋a2n<0，即a1q2n－2(1＋q)<0，可得q<－1<0.故“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充分条件，故选C.
81
6．若等比数列{an}的各项均为正数，前4项的和为9，积为4，则前4项倒数的和为( D ) 3A.2 C．1
9B.4 D.2
解析：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则第2,3,4项分别为a1q，a1q2，8139a1q3，依题意得a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝9①，a1·a1q·a1q2·a1q3＝4?a2q1＝②，①2a1＋a1q＋a1q2＋a1q31111
÷②得＝a＋aq＋aq2＋aq3＝2.故选D. 3a21q1111
a8＋a91
7．已知等比数列{an}的各项都是正数，且3a1，2a3，2a2成等差数列，则＝
a6＋a7( D ) A．6 C．8
B.7 D.9
1
解析：∵3a1，2a3,2a2成等差数列，∴a3＝3a1＋2a2， ∴q2－2q－3＝0，∴q＝3或q＝－1(舍去)．
a8＋a9a1q7＋a1q8q2＋q32
2
∴＝5＝＝q＝3＝9.故选D. 6a6＋a7a1q＋a1q1＋q
8．(2018·合肥质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2 018＝( A ) A．22 018－1 7?1?C.?2?2 018－2 ??
B.32 018－6 10?1?D.?3?2 018－3 ??
解析：因为3Sn＝2an－3n，所以当n＝1时，3S1＝3a1＝2a1－3，所以a1＝－3；当n≥2时，3an＝3Sn－3Sn－1＝(2an－3n)－(2an－1－3n＋3)，所以an＝－2an－1－3，即an＋1＝－2(an－1＋1)，所以数列{an＋1}是以－2为首项，－2为公比的等比数列．则an＋1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n，所以an＝(－2)n－1，所以a2 018＝(－2)2 018－1＝22 018－1，故选A.
9．(2018·郑州质量预测)已知数列{an}满足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，则log2(a101＋a102＋…＋a110)＝__100__. 解析：由log2an＋1＝1＋log2an，可得log2an＋1＝log22an，即an＋1＝2an，所以数列{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列．
又a1＋a2＋…＋a10＝1，所以a101＋a102＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)×2100＝2100， 所以log2(a101＋a102＋…＋a110)＝log22100＝100.
10．已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是__(－∞，－1]∪[3，＋∞)__．
解析：当q>0时，S3＝a1＋a2＋a3＝1＋a1＋a3≥1＋2a1a3＝1＋2a22＝3； 当q<0时，S3＝a1＋a2＋a3＝1＋a1＋a3≤1－2a1a3＝1－2a22＝－1， 所以S3的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
11．(2018·石家庄质检)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a1＝1，a2·a4＝16.
(1)设bn＝log2an，求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{an·bn}的前n项和Sn. 解析：(1)设数列{an}的公比为q(q>0)，
??a1＝1，由?得q4＝16，所以q＝2，则an＝2n－1. ??a2a4＝16，
又bn＝log2an，所以bn＝n－1. (2)由(1)可知an·bn＝(n－1)·2n－1，
则Sn＝0×20＋1×21＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1， 2Sn＝0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n－1)·2n， 两式相减，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－1)·2n 2－2n＝－(n－1)·2n＝2n(2－n)－2， 1－2所以Sn＝2n(n－2)＋2.
12．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； 31
(2)若S5＝32，求λ.
解析：(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1， 故λ≠1，a1＝
1
，a1≠0. 1－λ
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan， 即(λ－1)an＋1＝λan，
an＋1λ
由a1≠0，λ≠0，得an≠0，所以a＝. nλ－11λ
因此{an}是首项为，公比为的等比数列，
1－λλ－1
1?λ?n－1
??. 于是an＝
λ－11－λ???λ?n
?. (2)由(1)得Sn＝1－?
?λ－1??λ?53131
?＝， 由S5＝32，得1－?λ－1??32?λ?51
?＝，解得λ＝－1. 即?λ－1??32