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2019-2020年中考数学思维方法讲义 第11讲 圆的有关概念

“圆”是现实世界中常见的图形，是初中几何的最后一章，从整个初中几何的学习来看，它属于“提高阶段”。在知识方面，不仅需要学好本章的知识，而且还需要能综合运用前面学过的知识，在数学能力方面，不仅要掌握好以前学习过的折叠、平移、旋转、推理证明等方法，还要具备运用这些知识和方法来继续研究圆的有关性质，并解决一些实际问题。另外，圆的许多性质，在理论上和实践中都有广泛的应用，所以，“圆”这章在初中几何中占有非常重要的地位。 【知识引导】

§Ⅰ 圆的有关概念

1．圆：平面上到__ 的距离等于__ 的所有点组成的图形叫做圆，其中，__ 为圆心，__ 为半径．__________确定圆的位置，__________确定圆的大小。

2．弧：圆上任意两点间的部分叫做__ ，简称弧，大于__ 的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．

3．弦：连接圆上任意两点的线段叫做__ ，经过圆心的弦叫做__ 。

4．能够重合的两个圆叫做__ ，同圆或等圆的__ ，在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做__ 。

5．点与圆的位置关系：设圆的半径为r,点到圆心的距离为d，

（1）点在圆外，即d___r ；(2) 点在圆上，即d____r；(3) 点在圆内，即d____r. §Ⅱ圆的有关性质：

1．圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

垂径定理和推论可以结合起来表述为：对于一个圆和一条直线说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具备其他三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧． 【精彩知识】

考点1: 圆的有关概念

【例1】1. 有下列四个命题：①直径是弦；②过圆心的线段是直径；③等弧一定是同圆中的弧；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）

A．4个 B．3个 C． 2个 D． 1个

2.若圆的半径是5cm，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（ ）

A.点P在⊙O外 B.点P在⊙O内 C.点P在⊙O上 D.点P在⊙O外或⊙O上

3.⊙O的半径为5cm，一点P到圆的最小距离与最大距离之比为2：3，则OP长为 。

变式训练:

1．有4个命题: ①直径相等的两个圆是等圆 ②长度相等的两条弧是等弧③圆中最大的弦是通

过圆心的弦 ④一条弦把圆分为两条弧,这两条弧不可能是等弧,其中真命题是 。

2．矩形ABCD中，AB＝8，BC?35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．

(A) 点B、C均在圆P外； (B) 点B在圆P外、点C在圆P内；

(C) 点B在圆P内、点C在圆P外； (D) 点B、C均在圆P内． 考点2 垂径定理的理解

【例2】下列命题正确的有 。 （1）过弦的中点的直径平分弦所对弧；

（2）过弦所对的两条弧的中点的直线必过圆心； （3）垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧； （4）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧； （5）经过弦的中点的直径一定垂直于弦； （6）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧。 考点3 垂径定理的基本运用(基本计算题型)

【例3】如图，已知在⊙O中，AB、CD两弦互相垂直于E，AB被分成4cm和10cm两段，求： （1）求圆心O到CD的距离；（2）若⊙O的半径为8cm，求CD的长。 C AE 4cm10cmB O D

【例4】如图，等腰△ABC内接于半径为5cm的⊙O，AB＝AC，tanB＝13。求： （1）BC的长；

A（2）AB边上高的长。 BC O

【例5】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300

， 求：（1）CD的长；（2）C点到AB的距离与D点到AB的距离之比。

相交于点M、N．

变式训练:

1、如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O 的半径是 ．

2、如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1,CD?42,则∠AED= .

第1题图 第2题图 第3

题图

3、如图，Rt△ABC中，?C?90，AC=2，BC=1，若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于

P，则AP= 。

4、如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，求⊙O的直径。

考点4 垂径定理的运用(综合推理与计算题型)

【例5】如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上， CD平行于AB，并与弧AB（1）求证：CM=DN；

（2）若OA＝3，AC＝2，tan?C?12，求弦MN的长．

【例6】如图, ⊙O的直径为MN=20cm, 弦AB=16cm, MC⊥AB于C, ND⊥AB于D. (1) 求证：AC=BD； (2) 求ND–CM的值。

变式训练:

已知如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，BE⊥CD于E，AF⊥CD于F交⊙O于点N，且BE=FN，连

结OE，OF.

求证：⑴OE＝OF； ⑵ CE＝DF。

【思维拓展】

【例7】如图，AB是⊙O的直径，P为AB上的一点，弦MN过点P, ∠NPB=45°，

（1）若AP=2，BP=6，求MN的长；

（2）当P在AB上运动时，保持∠NPB的度数不变，试问：请求其值；若改变，请求出其值的取值范围。

经过A、B、C（1，0）三点.

PM?PN的值是否改变？若不变，2AB22（1）求抛物线的解析式;

（2）若点D的坐标为（－1，0），在直线y??x?3上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求

N出点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形

APOBAPCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

M

变式训练:

如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过A任作一直线与⊙O1交于M，与⊙O2交于N. (1) 问什么时候MN最长？为什么？

(2) 再过A作直线EF与⊙O1交于E，与⊙O2交于F，⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为25，AE=6，

AF=8，求MN的长。

E MAN F O1O2 B

【例8】如图，已知：直线y??x?3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2

+bx+c

、

【课后测试】