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2005年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

理科数学（必修+选修II）

第I卷（共60分）

参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)

如果事件A、B相互独立，那么P(A?B)?P(A)P(B)

一．选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.

1?i1?i??

(1?i)2(1?i)2（A）i （B）?i （C）1 （D）?1

1?x（2）函数y?(x?0)的反函数图像大致是

x（1）

yyyyo1x?1oxo1x?1ox （A） （B） （C） （D）

（3）已知函数y?sin(x??12)cos(x??12)，则下列判断正确的是

（A）此函数的最小周期为2?，其图像的一个对称中心是(（B）此函数的最小周期为?，其图像的一个对称中心是(?12,0)

?12,0) ,0)

（C）此函数的最小周期为2?，其图像的一个对称中心是(（D）此函数的最小周期为?，其图像的一个对称中心是(（4）下列函数既是奇函数，又在区间??1,1?上单调递减的是 （A）f(x)?sinx （B）f(x)??x?1 （C）f(x)??6?6,0)

1x2?x(a?a?x) （D）f(x)?ln 22?x1n1)的展开式中各项系数之和为128，则展开式中3的系数是 （5）如果(3x?32xx（A）7 （B）?7 （C）21 （D）?21

2??sin(?x),?1?x?0（6）函数f(x)??x?1，若f(1)?f(a)?2,则a的所有可能值为

??e,x?0222 （C）1,? （D）1, 222（7）已知向量a,b，且AB?a?2b,BC??5a?6b，CD?7a?2b，则一定共线的三点是

（A）1 （B）?（A）A、B、D （B）A、B、C （C）B、C、D （D）A、C、D

（8）设地球的半径为R，若甲地位于北纬45?东经120?，乙地位于南纬75?东经120?，则甲、乙两地的球面距离为

（A）3R （B）

?6R （C）

2?5?R R （D）36（9）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是

31111 （B） （C） （D） 1012212（10）设集合A、B是全集U的两个子集，则A??B是?CUA??B?U的

（A）

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）冲要条件（D）既不充分也不必要条件 （11）0?a?1，下列不等式一定成立的是

（A）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?2 （B）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)

（C）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a) （D）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)

y2?1的交点为A、（12）设直线l:2x?y?2?0关于原点对称的直线为l?，若l?与椭圆x?41B、，点P为椭圆上的动点，则使?PAB的面积为的点P的个数为

22（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

第II卷（共90分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上.

2n?2Cn?2Cn?__________. （13）limn??(n?1)2x2y2(14)设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Qab两点，如果?PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e?___________.

?x?y?5,?3x?2y?12,?(15)设x、y满足约束条件?则使得目标函数z?6x?5y的最大的点(x,y)?0?x?3,??0?y?4.是____________

(16)已知m、n是不同的直线，?、?是不重合的平面，给出下列命题：①若

?//?,m??，n??则m//n；②若m,n??,m//?,则?//?③若m??,n??,m//n，则?//?④m,n是两条异面直线，若m//?,m//?,n//?,n//?，则?//?

上面的命题中，真命题的序号是______（写出所有真命题的序号）

三．解答题：本大题共6小题，共74分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）

已知向量m?(cos?,sin?)和n?(2?sin?,cos?),??(?,2?)，且m?n?82,求5cos(?)的值.

28(18)(本小题满分12分)

袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用?表示取球终止所需要的取球次数.

（I）求袋中原有白球的个数； （II）求随机变量?的概率分布； （III）求甲取到白球的概率. （19）（本小题满分12分）

已知x?1是函数f(x)?mx?3(m?1)x?nx?1的一个极值点，其中m,n?R,m?0，

（I）求m与n的关系式； （II）求f(x)的单调区间；

（III）当x???1,1?时，函数y?f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.

(20)(本小题满分12分)

如图，已知长方体ABCD?A1B1C1D1,AB?2,AA1?1,直线BD与平面AA1B1B所成的角为30?，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点.

（I）求异面直线AE与BF所成的角；

（II）求平面BDF与平面AA1B所成的二面角； （III）求点A到平面BDF的距离. （21）（本小题满分12分）

已知数列?an?的首项a1?5,前n项和为Sn，且

B132??17A1D1FAC1DEBCSn?1?Sn?n?5(n?N*)

（I）证明数列?an?1?是等比数列；

2（II）令f(x)?a1x?a2x??anxn，求函数f(x)在点x?1处的导数f?(1)并比较

2f?(1)与23n2?13n的大小.

(22)(本小题满分14分)

p?p?,0?，且与直线x??相切，其中p?0.

2?2?（I）求动圆圆心C的轨迹的方程；

（II）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为?和?，当?,?变化且???为定值?(0????)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点

已知动圆过定点?的坐标.