内容发布更新时间 : 2024/11/1 6:58:32星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第十章 曲线积分与曲面积分答案

一、选择题 1．曲线积分

?x??f(x)?e?sinydx?f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)有一阶连续偏导L?数，且f(0)?0，则f(x)? B

A.

1?xx11(e?e) B. (ex?e?x) C. (ex?e?x) 222?ydx?xdy? C ??x?yC2．闭曲线C为x?y?1的正向，则

.2 C 3．闭曲线C为4x?y?1的正向，则

22?ydx?xdy? D 22??4x?yCA.?2? B. 2? D. ? 4．?为YOZ平面上y?z?1，则

22222(x?y?z)ds? D ???14222225．设C:x?y?a，则??(x?y)ds? C

C22 B. ? C. ? D. ?

12A.2?a B. ?a C. 2?a D. 4?a 6. 设?为球面x?y?z?1，则曲面积分

22233??1??dSx?y?z12222的值为 [ B ]

A.4? B.2? C.? D.?

7. 设L是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分

?Lyds?[ C ]

A. 8. 设I=?2211 B. ? C. D. ?

2222Lyds 其中L是抛物线y?x2上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,

则I=[D ]

A.

555555?155?1 B. C. D. 6126129. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 ?，那么 ? 是（ D ）

11； B. xdx?ydyydy?xdx； ??ll2211 C. ?ydx?xdy； D. ?xdy?ydx。

2l2l A.

10．设S:x?y?z?R(z?0)，S1为S在第一卦限中部分，则有 C

A.C.

二、填空题

1. 设L是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分

2222??xds?4??xds B.??yds?4??yds

SS1SS1??zds?4??zds D.??xyzds?4??xyzds

SS1SS1?Lydx?(ey?x)dy? -2

2为球面x2?y2?z2?a2的外侧,则??(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy?0

s3.

x2?y2?1x?y?ydx?xdy22 =?2?

4．曲线积分

??(xC2?y2)ds，其中C是圆心在原点，半径为a的圆周，则积分值为2?a3

5．设∑为上半球面z?4?x2?y22?z?0?，则曲面积分???x2?y2?z2?ds= 32π

?6. 设曲线C为圆周x?y?1,则曲线积分

2???xC2?y2?3x?ds? 2? .

7. 设C是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分8. 设?为上半球面z?4?x?y，则曲面积分

22?C(x?y)ds?1+832 ??1??dsx2?y2?z2的值为 ?。

9. 光滑曲面z=f（x，y）在xoy平面上的投影区域为D，则曲面z=f（x，y）的面积是

S???1?(D?z2?z)?()2d? ?x?y310．设L是抛物线y?x上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧，则曲线积分(2x?4y)dx?

L?12

11、设?为螺旋线x?cost,y?sint,z?3t上相应于t从0到?的一段弧，

则曲线积分I??(x2?y2?z2)ds? 2??1??2? 。

?12、设L为x?y?a的正向，则三、计算题 1．eL222xdy?ydx??Lx2?y2? 2? 。

?x2?y2 ds，其中L为圆周x2?y2?1，直线y?x及x轴在第一象限所围图形的边界。

解：记线段OA方程y?x,0?x?线段OB方程y?0,0?x?1。

?x?cos?2?，圆弧AB方程?,0??? 24?y?sin?则原式＝

OA?ex2?y2ds＋

AB?ex2?y2ds＋

OB?ex2?y2ds＝?22?0e2x2dx＋?4ed?＋?exdx

001＝2(e?1)? 2．

?4e ＃

?Lx2?y2dx?y[xy?ln(x?x2?y2)]dy，其中L为曲线y?sinx,0?x??与直线

段y?0,0?x??所围闭区域D的正向边界。 解：利用格林公式，P?

x2?y2，Q?y[xy?ln(x?x2?y2)]，则

，?P??yyx2?y2?Qy ?y2?22?xx?y故原式＝

??(D?Q?P?)dxdy???y2dxdy??x?yD22??0dx?sinx0y2dy＝

1?34 ＃ sinxdx??039223．ydx?xdy，其中L为圆周x?y?R的上半部分，L的方向为逆时针。

?L2解：L的参数方程为?故原式＝

?x?Rcost，t从0变化到?。

y?Rsint???0[R2sin2t(?Rsint)?R2cos2t(Rcost)]dt

＝R34322[(1?cost)(?sint)?(1?sint)cost]dt?R ＃ ＝?03?