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中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

aba?b的值为（ ）． ?20， ?10，则

bcb?c1101121210（A） （B） （C） （D）

21211111a?1a?bb20?1210解：D 由题设得． ???c1b?c1?111?b1012．若实数a，b满足a?ab?b2?2?0，则a的取值范围是 （ ）．

2（A）a≤?2 （B）a≥4 （C）a≤?2或 a≥4 （D）?2≤a≤4 解．C

1因为b是实数，所以关于b的一元二次方程b2?ab?a?2?0

21的判别式 ?＝(?a)2?4?1?(a?2)≥0,解得a≤?2或 a≥4．

21．若

3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=23，BC=4?22，CD＝42，则AD边的长为（ ）．

（A）26

（B）46

（第3题） （C）4?6 （D）2?26 解：D

如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，分别为E，F．

由已知可得

BE=AE=6，CF＝22，DF＝26，

垂足

（第3题） 于是 EF＝4＋6．

过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得

AD?(4?6)2?(6)2?(2?24)2＝2?26．

4．在一列数x1，x2，x3，……中，已知x1?1，且当k≥2时，xk?xk?1?1?4??k?1???k?2??

????????4??4??（取整符号?a?表示不超过实数a的最大整数，例如?2.6??2，?0.2??0），则x2010等于（ ）．

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：B

??k?1??k?2??由x1?1和xk?xk?1?1?4??可得 ???????4??4??x1?1，x2?2，x3?3，x4?4，

x5?1，x6?2，x7?3，x8?4，

……

因为2010=4×502+2，所以x2010=2．

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…， 则点P2010的（ ）．

180°得坐标是

（A）（2010，2） （B）（2010，?2） （C）（2012，?2） （D）（0，2）

解：B由已知可以得到，点P1，P2的坐标分别为（2，0），（2，?2）．

（ b2)，其中a2?2,b2??2． 记P2a2，（第5题） 根据对称关系，依次可以求得：

P3(?4?a2，－2－b2)，P4(2?a2，4?b2)，P5(?a2，?2?b2)，P6(4?a2，b2)．

令P6(a6,b2)，同样可以求得，点P，即P， 10的坐标为（4?a6,b2）10（4?2?a2,b2）由于2010=4?502+2，所以点P2010的坐标为（2010，?2）． 二、填空题

6．已知a＝5－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ．

解：0

由已知得 (a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是

2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．

7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ．

解：15

设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a，b，c（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得

10?a?b??S， ①

15?a?c??2S， ② x?b?cS ③ ??．

由①②，得30． （b?c）?S，所以，x=30． 故 t?30?10?5?15（分）

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ．

111解：y??x+

33（第8题） （第8题

如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF；连接CE，DF，且相交于点N． 由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，

过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．

于是，直线MN即为所求的直线l．

?2k+b?3，设直线l的函数表达式为y?kx?b，则?

?5k?b?2，1?k??，?111?3解得 ?,故所求直线l的函数表达式为y??x+．

33?b?11.?3?