内容发布更新时间 : 2024/5/29 14:04:31星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
8.4直线与圆、圆与圆的位置关系
典例精析
题型一 直线与圆的位置关系的判断
【例1】已知圆的方程x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时， (1)直线与圆有两个公共点； (2)直线与圆只有一个公共点.[] 【解析】方法一：(几何法)
设圆心O(0,0)到直线y＝x＋b的距离为d，d＝
|b||b|
＝，半径r＝2. 12＋122
当d＜r时，直线与圆相交，
|b|
＜2，－2＜b＜2， 2
所以当－2＜b＜2时，直线与圆有两个公共点. 当d＝r时，直线与圆相切，
|b|
＝2，b＝±2， 2
所以当b＝±2时，直线与圆只有一个公共点. 方法二：(代法)
?x2?y2?2,?联立两个方程得方程组?y?x?b,
消去y得2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝16－4b2. 当Δ＞0，即－2＜b＜2时，有两个公共点； 当Δ＝0，即b＝±2时，有一个公共点.
【点拨】解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用形结合思想，既要运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系法运用直线方程中的基本关系，养成勤画图的良好习惯.
【变式训练1】圆2x2＋2y2＝1与直线xsin θ＋y－1＝0(θ∈R，θ≠kπ＋k∈Z)的位置关系是( )
π
，2
A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定
【解析】选A.易知圆的半径r＝1
.
sin2θ＋1因为θ≠
2
，设圆心到直线的距离为d，则d＝2
π
＋kπ，k∈Z.所以0≤sin2θ＜1， 2
所以
2
＜d≤1，即d＞r，所以直线与圆相离. 2
题型二 圆与圆的位置关系的应用
【例2】如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，求实a的取值范围.
【解析】到原点的距离等于1的点在单位圆O：x2＋y2＝1上.当圆C与圆O有两个公共点时，符合题意，故应满足2－1＜|OC|＜2＋1，[] 所以1＜a2＋a2＜3，即
232
＜|a|＜， 22
322232
所以－＜a＜－或＜a＜为所求a的范围.[]
2222
【变式训练2】两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为 .
【解析】由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(－1,1)，(2，－2)，则过它们圆心的直线方程为
x－(－1)y－1
＝，即y＝－x.
2－(－1)－2－1
根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称.
故由P(1,2)可得它关于直线y＝－x的对称点，即点Q的坐标为(－2，－1). 题型三 圆的弦长、中点弦的问题[]
【例3】已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程； (2)求圆C内过点P的弦的中点的轨迹方程.
【解析】(1)如图，AB＝43，D是AB的中点，则AD＝23，AC＝4， 在Rt△ADC中，可得CD＝2.
设所求直线的斜率为k，则直线的方程为 y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到|－2k－6＋5|
直线的距离公式＝2，[][]
k2＋13
得k＝，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
4
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时的方程为x＝0. 所以所求直线为x＝0或3x－4y＋20＝0. (也可以用弦长公式求解) (2)设圆C上过点P的弦的中点为D(x，y)，
因为CD⊥PD，所以CD?PD＝0，即(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0， 简得轨迹方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
【点拨】在研究与弦的中点有关问题时，注意运用“平方差法”，即设弦AB两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为(x0，y0)，
222??x1?y1?r,?22y1－y2x1＋x2x0?x2?y2?r2,?由得k＝＝－＝－. x1－x2y1＋y2y0
该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.
【变式训练3】已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( ) A.106
B.206
C.306
D.406
【解析】选B.圆的方程成标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，过点(3,5)的最长弦1
为AC＝10，最短弦为BD＝252－12＝46，S＝AC·BD＝206.
2总结提高
1.解决直线与圆、圆与圆的位置关系有代法和几何法两种，用几何法解题时要注意抓住圆的几何特征，因此常常要比代法简捷.例如，求圆的弦长公式比较复杂，利用l＝2R2－d2(R表示圆的半径，d表示弦心距)求弦长比代法要简便.