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《导航技术基础》课程论文

XXX技术的分析与比较

学号：0420102314，姓名：李某某

摘要：本文针对一类非线性系统的镇定问题，分析了基于泰勒展开的近似线性化方法和基于微分几何的精确线性化方法的不同之处，及根据近似线性模型设计的控制器与根据精确线性模型设计的控制器的优缺点。最后以一种实际的非线性系统—柔性关节机械臂系统为例，验证了所得结论的正确。 关键词：微分几何、精确线性化、镇定控制 一. 引言

自控制理论建立起来，系统的镇定问题一直是控制理论中研究的重点问题之一。与线性系统相比，非线性系统的镇定问题要复杂的多。首先由于非线性系统之间结构上的差异非常大，使得很难建立一个统一的理论框架对非线性系统进行研究；并且这种很大的差异使得非线性系统解的存在性以及表述上存在较大的困难，因此对非线性系统的研究很少有建立在解的表达式上的直接方法；其次由于非线性系统比线性系统具有更多的、更复杂的动态特性，使得对非线性系统的研究需要更多、更复杂的数学理论支持。

非线性系统的这些特征与困难导致了各种各样的非线性系统理论不断出现与创新，控制器的设计方法也层出不穷，如Lyapunuov函数法、递归设计法、非线性系统几何理论等[8]。其中以微分几何为基础的非线性系统几何理论是非线性系统控制理论进入新时期的标志。该方法自上世纪70年代由Brockett[1]、Sussamann[2]、Krener[3]等人做的开创性和奠基性工作以来，得到了迅速的发展，形成了包括能控性、能观性、解耦和线性化等方面的非线性系统的几何理论[4]，并在实际应用中取得了初步成效。

本文针对一类非线性仿射系统，分析了以泰勒展开为基础的近似线性化和以微分几何方法为基础的精确线性化之间的区别，研究了精确线性化在设计高精度控制器和远离平衡点的非线性系统控制上的优越性；最后以一个柔性关节机械臂系统为例验证了上述结论的正确性； 二. 问题描述

考虑一类微分方程组描述的非线性系统：

??f(x,u) x

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其中：x为状态向量；u为控制向量；镇定问题所研究的是设计一个状态反馈控制器：u=k(x)

??f(x,k(x)) 使得闭环系统：x为稳定系统，即当t→?时，系统各状态能从非平衡状态的初始位置运动到平衡状态，即limx(t)?x，其中：x为系统的平衡状态。

t??三. 控制器设计

针对上述非线性系统的镇定问题，有一类方法是先将其进行线性化，然后利用线性系统稳定性理论来设计控制器。目前常用的线性化方法有两种：一种是以泰勒展开为基础的近似线性化方法，该方法是经典控制理论中处理非线性系统时，常用的一种方法，即在平衡点附近，对系统的微分方程进行泰勒展开，然后取线性近似；这种线性化方法最明显的缺点是它有误差，而且误差随偏离平衡点距离的增大而扩大。因此这种方法不适用于需要高精度控制的场合，也不适用于初始状态远离平衡状态的场合。另一种是以微分几何为基础的精确线性化方法，目前非线性系统的精确线性化主要包括以下三类[5]：

（1） 无反馈线性化：所研究的非线性系统可能实际上是一个线性系统，但由于

坐标选择的不合适，因而形式上变成了一个非线性系统。这类系统的线性化便是寻找适当的坐标，使系统在此坐标下成为线性系统；这种显性化问题称为无反馈线性化，它是线性化问题中最为简单的一类。

（2） 状态反馈线性化：状态反馈线性化与无反馈线性化的不同之处在于前者考

虑了控制的作用，其实质是寻找一个状态反馈和一个微分同胚变换，使得反馈系统变为一个线性系统；

（3） 动态补偿线性化：利用动态补偿方法把用状态反馈不能线性化的系统线性

化，其实质是寻找动态补偿器，使得该补偿器同原系统一起可状态反馈线性化，此线性化方法比较复杂。

随着微分几何理论的发展，非线性系统的精确线性化方法得到了系统的发展；到目前为止，非线性系统的精确线性化理论已经基本形成，并得到了初步应用。下面，本文以一类单输入仿射非线性系统（1）为例，简要说明一下经典的近似线性化方法和精确线性化方法。

??F(x)?G(x)u （1） x

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u?Rx?Rn，其中：是一个n维的状态向量；F(x)与G(x)是n维的函数向量；

是一个一维的控制输入；

1. 经典的近似线性化方法

该方法通过求取方程（1）右端对状态向量x在平衡点的偏导数可得，即：

??f1(x)?x1?1???x??x?2???f2(x)?????????x1?????n??f(x)?x?n???x1?f1(x)?x2?f2(x)?x2??fn(x)?x2?f1(x)??xn???f2(x)???xn?????fn(x)????xn??x??x1??g1(x0)??x??g(x)??2???20??u （2） ??????????xg(x)?n??n0?0方程（2）即为方程（1）在平衡点x0处的近似线性化模型； 2. 精确线性化方法

该方法通过寻找一个微分同胚变换（3）和一个状态反馈（4）使得非线性系统（1）可以转换成一个Brunovsky标准型的线性系统（5）。

z?T(x) （3） v??(x,u) （4） ??Az?Bv （5） z其中：

?0?0?A?????0??010?0??0??0?01?0?????????，B????

???00?1??0??00?0???1??基于微分几何的非线性系统精确线性化理论已经证明：存在这样一个微分同胚变换和状态反馈，使得一个单输入仿射非线性可以化为一个线性系统的充分必要条件是：

?1n（1）span{g,?,adnfg}?R

?2（2）分布span{g,?,adng}是对合的，且具有常数秩n-1； f并且由其证明过程可知：若h(x)是线性偏微分方程组：

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