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突破25 连接体物体系统的机械能守恒

两个或两个以上的物体通过细绳或轻杆或弹簧联系在一起，系统仅在重力作用下运动，对系统中某一个物体来说机械能不守恒，但整个系统与外界无能量交换，机械能仅在系统内物体间转移或转化，所以系统机械能守恒。

一、系统机械能守恒的常用表达式

1．系统势能(包括重力势能和弹性势能)减少多少，动能就增加多少，反之亦然，即ΔEp＝－ΔEk。 2．系统内某一部分机械能减少多少，另一部分机械能就增加多少，即ΔE1＝－ΔE2。 3．对于连接体，一般用两个物体的机械能变化量大小相等列方程解答。 二、常见类型

1. 绳连接的物体系统机械能守恒

如图所示的两物体组成的系统，释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程相等，A、B的速率也相等。但有些问题中两物体的速率并不相等，这时就需要先进行运动的合成与分解找出两物体运动速度之间的关系。

2. 弹簧连接的物体系统机械能守恒

由弹簧相连的物体系统，在运动过程中既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧弹性势能相互转化或转移，而总的机械能守恒。

求解这类问题时，首先，以弹簧遵循的胡克定律为分析问题的突破口：弹簧伸长或缩短时产生的弹力的大小遵循F＝kx和ΔF＝kΔx。其次，以弹簧的弹力做功为分析问题的突破口：弹簧发生形变时，具有一定的弹性势能。弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数、形变量有关，一般不用计算弹性势能的大小，弹簧的形变量相同的时候弹性势能相同，通过运算可以约去。当题目中始、末都不是弹簧原长时，要注意始、末弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应，即伸长量或压缩量，而力的位移就可能是两次形变量之和或之差。

3. 杆连接的物体系统机械能守恒

如图所示的两物体组成的系统，释放后A、B在竖直平面内绕过O点的轴转动，且A、B的角速度相等。

【典例1】如图所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h＝0.2 m，开始时让连着A的细线与水平杆的夹角θ1＝37°，由静止释放B，当细线与水平杆的夹角θ2＝53°时，A的速度为多大？在以后的运动过程中，A所获得的最大速度为多大？(设B不会碰到水平杆，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，取g＝10 m/s)

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【答案】 1.1 m/s 1.6 m/s

其中h2＝－h

sin θ1

代入数据解得vAm≈1.6 m/s。

【典例2】如图所示，长为3L的轻杆ab可绕水平轴O自由转动，Oa＝2Ob，杆的上端固定一质量为m的小球(可视为质点)，质量为M的正方体物块静止在水平面上，不计一切摩擦阻力。开始时，轻杆竖直且右侧紧靠着正方体物块，由于轻微的扰动，杆逆时针转动，带动物块向右运动，当杆转过60°角时杆与物块恰好分离。重力加速度为g，当杆与物块分离时，下列说法正确的是 ( )

h

A．小球的速度大小为 B．小球的速度大小为 C．物块的速度大小为 D．物块的速度大小为 【答案】 BD

【解析】 设轻杆的a端(小球)、b端、物块的速度分别为va、vb、vM。根据系统的机械能守恒得

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