内容发布更新时间 : 2025/5/9 10:23:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第三节 二项式定理

二项式定理的应用

(1)能用计数原理证明二项式定理．

(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

知识点一 二项式定理 1．定理

n1n－1n－kknn

公式(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnb(n∈N*)叫na＋Cnana

作二项式定理．

2．通项

n－kkTk＋1＝Ckb为展开式的第k＋1项． na

易误提醒 (1)二项式的通项易误认为是第k项实质上是第k＋1项．

(2)(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒．

n－kk(3)通项是Tk＋1＝Ckb(k＝0,1,2，…，n)．其中含有Tk＋1，a，b，na

n，k五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．

[自测练习]

1?6?2x－?的展开式中常数项为________． 1.?

x??

解析：由题意可知常数项为答案：60

4

C6(2x)2?－

??

1?4

?＝60. x?

1??

x－?82.??4?的展开式中的有理项共有________项．

2x??

1??

1?rr16－3r?r?r8－r?－?解析：∵Tr＋1＝C8(x)?Cx4∴r为4的倍4?＝?－2??8

?2x?数，故r＝0,4,8共3项．

答案：3

知识点二 二项式系数与项的系数 1．二项式系数与项的系数 (1)二项式系数

二项展开式中各项的系数Ck n(k∈{0,1，…，n})叫作二项式系数．(2)项的系数

项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．

2．二项式系数的性质 性 质 对称性 内 容 n－m与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即Cm n＝Cn增减性 n＋1当k<2时，二项式系数逐渐增大； n＋1当k>2时，二项式系数逐渐减小 ?n??当n是偶数时，中间一项第2＋1项?的二项式系数最大，??最大值 ?n－1n最大值为C2n；当n是奇数时，中间两项?第2＋1项和?

?n＋1第2＋1项?的二项式系数相等，且同时取得最大值，最?

n－1n＋1大值为C2n或C2n 3.各二项式系数的和

12

(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋Cn＋Cnnn

＋…＋Ckn＋…＋Cn＝2.

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系

13524n－1数的和，即Cn＋Cn＋Cn＋…＝C0. n＋Cn＋Cn＋…＝2

易误提醒 二项式系数与展开式项的系数的异同：

n－kk

在Tk＋1＝Ckb中，Cknan就是该项的二项式系数，它与a，b的值

无关；Tk＋1项的系数指化简后除字母以外的数，如a＝2x，b＝3y，Tk

＋1

kn－kkn－kkn－kk＝Cn2·3xy，其中Ck3就是Tk＋1项的系数． n2

[自测练习]

3．(2015·高考四川卷)在(2x－1)5的展开式中，含x2的项的系数是________．(用数字填写答案)．

5－r

解析：由二项展开式的通项Tr＋1＝Cr(－1)r(r＝0,1，…，5)5(2x)5－3

知，当r＝3时，T4＝C3(2x)(－1)3＝－40x2，所以含x2的项的系数5

是－40.

答案：－40

01n

4．Cn＋3Cn＋5C2n＋…＋(2n＋1)Cn＝________.

－112n解析：设S＝C0Cnn＋3Cn＋5Cn＋…＋(2n－1)·n＋(2n＋1)Cn， －1n10∴S＝(2n＋1)Cn＋(2n－1)Cnn＋…＋3Cn＋Cn，

012∴2S＝2(n＋1)(Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn2n， n)＝2(n＋1)·

∴S＝(n＋1)·2n. 答案：(n＋1)·2n