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2014-2015学年浙江省杭州市七校联考高二（下）期中数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求．）
1．已知倾斜角为90°的直线经过点A（2m，3），B（2，﹣1），则m的值为（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
2．对抛物线y=x2
，下列描述正确的是（ ）
A． 开口向上，焦点为（0，1） B． 开口向右，焦点为（1，0） C． 开口向上，焦点为（0，
） D． 开口向右，焦点为（
，0）
3．已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱锥的体积是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．球的体积与其表面积的数值相等，则球的表面积等于（ ） A． π B． 4π C． 16π D． 36π
5．直线l1：ax+2y+3=0与l2：x﹣（a﹣1）y+a2
﹣1=0，则“a=2”是“直线l1与l2垂直”的（ A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分又不必要条件
6．若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ A． α∥β，m?α，n?β?m∥n B． α⊥β，n∥α，m⊥β?n⊥m C． m∥n，m∥α?n∥α D． m∥n，m⊥α?n⊥α
） ） 7．实数x，y满足x+y﹣2x﹣2y+1=0，则 A．
B．
C． D．
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的最小值为（ ）
8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=2，E，F分别是A1B1和B1C1的中点，则异面直线AE与BF所成的角．（ ） A． 30° B． 60° C． 90° D． 120°
9．有下列四个命题：
①“平面内一个动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆”； ②“若q≤1，则方程x+2x+q=0有实根”的否命题；
2
③“若m＞1，则mx﹣2（m+1）x+m+3＞0的解集为R”的逆命题． ④“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆否命题． 其中真命题的序号有（ ）
A． ②③ B． ①③④ C． ①③ D． ①④
10．分别过椭圆
+
=1的左、右焦点F1、F2所作的两条互相垂直的直线l1、l2的交点在
2
此椭圆的内部，则此椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． （0，1） B． （0，
） C． （
，1） D． [0，
]
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
2
11．命题“?x0∈R，使得x0+2x0+5＞0”的否定是 ． 12．双曲线
的渐近线方程为 ．
13．不论m为何实数，直线mx﹣y+3=0恒过定点 （填点的坐标）
14．已知直线l∥平面α，直线m?α，则直线l和m的位置关系是 ．（平行、相交、异面三种位置关系中选）
15．已知动圆M与圆C1：（x+5）+y=16外切，与圆C2：（x﹣5）+y=16内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ．
16．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，现将△ABD沿BD翻折至△A′BD，使二面角A′﹣BD﹣C的大小为60°，求CD和平面A′BD所成角的余弦值是 ．
2
2
2
2
17．设双曲线
（a＞b＞0）的右焦点为F，左右顶点分别为A1，A2，过F且
与双曲线C的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线相交于P，若P恰好在以A1A2为直径的圆上，则双曲线的离心率为 ．
三．解答题：（本大题共4题，第1、2、3题每题10分，第4题12分，共42分．）
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18．（10分）（2015春?南昌校级期末）命题p：实数x满足x﹣4ax+3a＜0（其中a＞0），命题q：2＜x≤3
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 19．（10分）（2015春?杭州期中）已知圆C的圆心在坐标原点，且被直线3x+4y+15=0截得的弦长为8
（Ⅰ）试求圆C的方程；
（Ⅱ）当P在圆C上运动时，点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点，且|MD|=|PD|．求点M的轨迹方程． 20．（10分）（2015春?杭州期中）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且直线PA⊥平面ABCD，又棱PA=AB=2，E为CD的中点，∠ABC=60°． （Ⅰ） 求证：直线EA⊥平面PAB；
（Ⅱ） 求直线AE与平面PCD所成角的正切值．
21．（12分）（2015春?杭州期中）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+t，与圆x+（y+1）=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为直角时，求△OMN的面积．
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2014-2015学年浙江省杭州市七校联考高二（下）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求．）
1．已知倾斜角为90°的直线经过点A（2m，3），B（2，﹣1），则m的值为（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
考点： 直线的倾斜角． 专题： 直线与圆．
分析： 由题意可得2m=2，解出即可．
解答： 解：∵倾斜角为90°的直线经过点A（2m，3），B（2，﹣1）， ∴2m=2， 解得m=1． 故选：B．
点评： 本题考查了倾斜角的应用，考查了推理能力，属于基础题．
2．对抛物线y=x，下列描述正确的是（ ）
A． 开口向上，焦点为（0，1） B． 开口向右，焦点为（1，0） C． 开口向上，焦点为（0，
） D． 开口向右，焦点为（
，0）
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考点： 抛物线的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 将抛物线方程化为标准方程，再由抛物线的性质，即可得到开口方向和焦点坐标．
解答： 解：抛物线y=x，即为抛物线x=4y， 由抛物线的性质可得该抛物线开口向上，
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焦点为（0，1）． 故选A．
点评： 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点，属于基础题．
3．已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱锥的体积是 （ ）
A．
B．
C．
D．
考点： 由三视图求面积、体积．
专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： 根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为正方形的三棱锥，求出它的体积即可． 解答： 解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是如图所示的四棱锥，
且该四棱锥的底面是边长为2cm的正方形ABCD， 高为cm；
所以，该四棱锥的体积为
V=×2×故选：A．
2
=cm．
3
点评： 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．
4．球的体积与其表面积的数值相等，则球的表面积等于（ ） A． π B． 4π C． 16π D． 36π