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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1、下列反常积分中收敛的是（）

??（A）

?21dx （B）x???2lnxdx (C)x2???21dx (D)xlnx???2xdx exsintxt2、函数f(x)?lim(1?)在(??,??)内（）

t?0x（A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点

1???xcos?,x?0(??0,??0)，若f?(x)在x?0处连续，则（） 3、设函数f(x)??x?0,x?0?（A）????1 (B)0?????1 (C)????2 (D)0?????2

4、设函数f(x)在(??,??)连续，其二阶导函数f??(x)的图形如右图所示，则曲线y?f(x)的拐点个数为（）

（A）0 (B)1 (C)2 (D)3

5、设函数f(u，v)满足f(x?y,)?x?y，则

yx22?f?f与依次是（）

u?1u?1?u?vv?1v?1（A）

1111,0 (B)0，（C）-,0 (D)0 ,- 22226、设D是第一象限中曲线2xy?1,4xy?1与直线y?x,y?3x围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则

??f(x,y)dxdy=（）

D?（A）

??d??241sin2?12sin2??f(rcos?,rsin?)dr（B）??2d??41sin2?12sin2?1sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)dr

?（C）

??d??341sin2?12sin2??f(rcos?,rsin?)dr（D）??3d??4f(rcos?,rsin?)dr

?111??1?????7、设矩阵A=?12a?，b=?d?,若集合Ω=?1,2?，则线性方程组Ax?b有无穷多个解的充

?14a2??d2?????分必要条件为（）

（A）a??,d?? (B)a??,d?? (C)a??,d?? (D) a??,d??

2228、设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x?Py下的标准形为2y1?y2?y3,其中P=(e1,e2,e3)，若

Q?(e1,e3,?e2)，则f(x1,x2,x3)在正交变换x?Py下的标准形为（ ）

222222222222(A)2y1 (B) 2y1 (C) 2y1 (D) 2y1 ?y2?y3?y2?y3?y2?y3?y2?y3二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

?x?arctantd2y9、设?,则2? 3dxt?1?y?3t?t10、函数f(x)?x2在x?0处的n 阶导数f11、设函数f(x)连续，?(x)?2x(n)(0)?

?x20xf(t)dt,若?(1)?1，?'(1)?5，则f(1)?

'12、设函数y?y(x)是微分方程y?y?2y?0的解，且在x?0处y(x)取值3，则y(x)= 13、若函数z?z(x,y)由方程ex?2y?3z''?xyz?1确定，则dz(0,0)=

214、设3阶矩阵A的特征值为2，-2,1，B?A?A?E，其中E为3阶单位矩阵，则行列式B=

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）

2设函数f(x)?x??ln(1?x)?bxsinx，g(x)?kx，若f(x)与g(x)在x?0是等价无穷小，

求a,b,k的值。 16、（本题满分10分）

设A?0，D是由曲线段y?Asinx(0?x??2)及直线y?o,x??2所形成的平面区域， V1，V2分别表示D绕X轴与绕Y轴旋转所成旋转体的体积，若V1?V2，求A的值。 得：A?8?

17、（本题满分10分）

已知函数f(x,y)满足fxy\(x,y)?2(y?1)ex，fx(x,0)?(x?1)e，f(0,y)?y2?2y，求

'xf(x,y)的极值。

18、（本题满分10分） 计算二重积分

222D?(x,y)x?y?2,y?x，其中 x(x?y)dxdy????D

19、（本题满分10分） 已知函数f(x)??1x1?tdt??2x211?tdt，求f(x)零点的个数。

20、（本题满分11分）

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120?C的物体在20?C的恒温介质中冷却，30min后该物体降至

30?C，若要将该物体的温度继续降至21?C，还需冷却多长时间？

21、（本题满分11分）

已知函数f?x?在区间?a，设b?a，+??上具有2阶导数，f?a??0，f??x??0，f''?x??0，曲线y?f?x?在点b,f?b?处的切线与x轴的交点是?x0，0?，证明a?x0?b 22、（本题满分11分）

??

?a10???设矩阵A??1a?1?且A3?O.

?01a???(1) 求a的值；

(2) 若矩阵X满足X?XA2?AX?AXA2?E，E为3阶单位阵，求X.