内容发布更新时间 : 2024/5/15 15:02:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

导数在研究函数中的应用(强化练)

[学生用书P135(单独成册)]

一、选择题

?π?1．(2019·濮阳高二检测)已知f′(x)是f(x)＝sin x＋a cos x的导函数，且f′??＝?4?

2

，则实数a的值为( ) 4

2A. 33C. 4

1B．

2D．1

2222?π?解析：选B.由题意可得f′(x)＝cos x－asin x，由f′??＝，得－a＝，

224?4?41

解得a＝.故选B.

2

2．函数f(x)＝x－3x在(1，＋∞)上是( ) A．减函数 C．常数函数

B．增函数 D．不能确定

2

3

解析：选B.当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＝3x－3>0，故选B.

3．已知对任意实数x，有f(－x)＝f(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，则x＜0时( ) A．f′(x)＞0 C．f′(x)＝0

B．f′(x)＜0 D．无法确定

解析：选B.因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．又x＞0时，f′(x)＞0，故当x＞0时，f(x)为增函数，由偶函数在对称区间上单调性相反，可知当x＜0时，f(x)为减函数，故选B.

4．(2019·太原高二检测)如图是导函数y＝f′(x)的图象，则下列说法错误的是( )

A．(－1，3)为函数y＝f(x)的单调递增区间 B．(3，5)为函数y＝f(x)的单调递减区间 C．函数y ＝f(x)在x＝0处取得极大值 D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值

解析：选C.由题图，可知当x＜－1或3＜x＜5时，f′(x)＜0；当x＞5或－1＜x＜3时，

f′(x)＞0.故函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，5)，单调递增区间为(－1，

- 1 -

3)，(5，＋∞)，函数y＝f(x)在x＝－1，x＝5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，故选项C说法错误．

5．函数f(x)＝x＋cos x在[0，π]上的( ) π

A．最小值为0，最大值为

2π

B．最小值为0，最大值为＋1

2π

C．最小值为1，最大值为

2D．最小值为1，最大值为π－1

解析：选D.f′(x)＝1－sin x．因为0≤x≤π， 所以0≤sin x≤1，

所以f′(x)≥0，即f(x)在[0，π]上是增函数， 所以f(x)max＝f(π)＝π－1，f(x)min＝f(0)＝1，故选D.

6．设函数f(x)＝2(x－x)ln x－x＋2x，则函数f(x)的单调递减区间为( )

2

2

?1?A.?0，? ?2?

C．(1，＋∞)

?1?B．?，1? ?2?

D．(0，＋∞ )

1

解析：选B.由题意，可得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(2x－1)ln x＋2(x2－x)·

x?4x－2＞0??4x－2＜0?－2x＋2＝(4x－2)lnx.由f′(x)＜0，可得(4x－2)ln x＜0，所以?或?，解

??ln x＜0ln x＞0??

1?1?得＜x＜1，故函数f(x)的单调递减区间为?，1?，选B.

2?2?

7．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)

?1?＜0，设a＝f(0)，b＝f??，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )

?2?

A．a＜b＜c C．c＜a＜b

B．c＜b＜a D．b＜c＜a

解析：选C.因为当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)＜0，所以f′(x)＞0，所以函数f(x)

?1?在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a＝f(0)＜f??＝b， ?2?

又f(x)＝f(2－x)， 所以c＝f(3)＝f(－1)，

所以c＝f(－1)＜f(0)＝a，所以c＜a＜b，故选C.

8．已知函数f(x)＝ax＋bx＋1在x＝1处取得极大值3，则f(x)的极小值为( )

3

2

- 2 -

A．－1 C．1

B．0 D．2

解析：选C.依题意知f(1)＝a＋b＋1＝3， 即a＋b＝2.①

因为f′(x)＝3ax＋2bx，f′(1)＝0， 所以3a＋2b＝0.② 由①②得a＝－4，b＝6.

所以f′(x)＝－12x＋12x＝0得x＝0或x＝1. 易知在x＝0处f(x)取极小值1.故选C.

13?b?2

9．若函数f(x)＝x－?1＋?x＋2bx在区间[－3，1]上不单调，则f(x)在R上的极小值

3?2?为( )

4

A．2b－

3C．0

32B．b－ 23132

D．b－b

6

22

解析：选A.由题意得f′(x)＝(x－b)(x－2)．因为f(x)在区间[－3，1]上不单调，所以－3＜b＜1.由f′(x)＞0，解得x＞2或x＜b；由f′(x)＜0，解得b＜x＜2.所以f(x)的极小4

值为f(2)＝2b－.故选A.

3

10．已知函数f(x)＝x－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－

3

f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )

A．20 C．3

B．18 D．0

解析：选A.对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，等价于在区间[－3，2]上，f(x)max－f(x)min≤t.因为f(x)＝x－3x－1，所以f′(x)＝3x－3＝3(x－1)(x＋1)．因为x∈[－3，2]，所以函数f(x)在[－3，－1]，[1，2]上单调递增，在[－1，1]上单调递减，所以f(x)max＝f(2)＝f(－1)＝1，f(x)min＝f(－3)＝－19，所以f(x)max－f(x)min＝20，所以

3

2

t≥20，即实数t的最小值是20.

二、填空题

11．函数y＝x－2ln x的单调递增区间为________．

2

解析：由题易知x＞0，故由y′＝1－＞0，得x＞2，故函数y＝x－2ln x的单调递增区

x间为(2，＋∞)．

答案：(2，＋∞)

- 3 -