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第二章：实数

知识梳理

【无理数】

1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。 2. 常见无理数的几种类型：

（1）特殊意义的数，如：圆周率?以及含有?的一些数，如：2-?，3?等；

（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01?（两个1之间依次多1个0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-?是无理数 （4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2?,

（5）开方开不尽的数，如:2,5,39等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：?）

3.有理数与无理数的区别：

（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；

（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333??、③5?7、④π、⑤?2.25、⑥?2、⑦0.3030003000003??3（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号） （2）有五个数:0.125125?,0.1010010001?,-?,4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】：

21. 定义：如果一个正数x的平方等于a，即x?a，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“a”，

读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。例如3=9，那么9的算术平方根是3，即9?3。

2

特别规地，0的算术平方根是0，即0?0，负数没有算术平方根

2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。

3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方

根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：?a。

例：（1）下列说法正确的是 （ ）

A．1的立方根是?1； B．4??2；（C）、81的平方根是?3； （ D）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）

A、81??9 B、3.14?????3.14 C、?27??93 D、5?3?2

（3）(?3)的算术平方根是 。（4）若x?2?x有意义，则x?1?___________。

2（5）已知△ABC的三边分别是a,b,c,且a,b满足a?3?(b?4)?0，求c的取值范围。

（6）（提高题）如果x、y分别是4－3 的整数部分和小数部分。求x － y的值. 平方根：

21.定义：如果一个数x的平方等于a，即x?a，那么这个数x就叫做a的平方根；，我们称x是a的平方（也

叫二次方根），记做：x??a(a?0)

2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；

（2）0只有一个平方根，它是0本身； （3）负数没有平方根

例（1）若x的平方根是±2，则x= ；16的平方根是 （2）当x 时，3－2x有意义。 （3）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？

3. (a)2(a?0)与a2的性质

2（a)2?a(a?0)如：7）?7（2）a?|a|中，a可以取任意实数。如52?|5|?5 （1）

22（-3）?|-3|?3

例：1.求下列各式的值

2（-（1）72 （2）（-7） （3）

249）

2.已知（a?1)2?a?1，那么a的取值范围是 。3.已知2＜x＜3,化简（2-x)2?|x?3|? 。 【立方根】

1.定义：一般地，如果以个数x的立方等于a，即x=a,那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）记为3a，读作，3次根号a。如2=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。

3

3

2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1，-1.

33a?2.89,ab?28.9，则b等于 例：（2）若（1）64的立方根是

3（3）下列说法中：①?3都是27的立方根，②3y?y，③64的立方根是2，④3??8???4。

2其中正确的有 （ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 【估算】

用估算法确定无理数的大小：对于带根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并采用“夹

逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部

分。

“精确到”与“误差小于”的区别：精确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m，答案在其值左右1m内都符合题意，答案不唯一。

方法点拨：解决此类问题的关键是依据平方根（立方根）及开平方（开立方）的定义，进而采取两边夹逼的办法求解。

例：估算下列各数的大小

（误差小于0.1）（1）327 （2）

用估算的方法比较数的大小

327（精确到0.1）（误差小于1） （3）33345

用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比较大小时，一般先采用分析法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较

当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论： （1）若a＞b≥0,则

a?b （2）若a＞b，则3a?3b或a3?b3

2

2

（3）若a、b都为正数，且a＞b时，则a＞b 例：通过估算比较下列各组数的大小 比较两个数的大小：

方法一：估算法。如3＜10＜4 方法二：作差法。如a＞b则a-b＞0.

方法三：乘方法.如比较26与33的大小。 例：比较下列两数的大小

（1） 【实数】

10-31与 （2）52与35 22定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。

（2）实数也可以分为正实数、0负实数。 实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是是：在数轴上的点到原点的距离。

实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大

于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的

?a(a?0)1（a≠0）；实数a的绝对值|a|=?，它的几何意义a??a(a?0)