内容发布更新时间 : 2024/5/18 23:30:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第十章 计数原理，概率，随机变量及其分布 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1．两个计数原理

两个计 数原理 目标 策略 过程 在第1类方案方法总数 分类加 法计数 原理 完 成 一 分步乘 法计数 原理 2.两个计数原理的区别 有两类 不同的 方案 中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 做第1步有mN＝m＋n种不同的方法 件 事 需要两 个步骤 种不同的方法，N＝m×n种不同做第2步有n种的方法 不同的方法 分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．

导师提醒

关注三个易错点

(1)应用两个计数原理首先要弄清楚先分类还是先分步． (2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准． (3)分步要做到“步骤完整”，步步相连．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( ) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( ) (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( ) (4)在分步乘法计数原理中，事件是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．( )

答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×

已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为( ) A．16 C．12

B．13 D．10

解析：选C.由分步乘法计数原理可知，走法总数为4×3＝12.故选C.

从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有( )

A．30 C．10

B．20 D．6

解析：选D.从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两个不同数字和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)．

某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为________．

解析：3个新节目一个一个插入节目单中，分别有7，8，9种方法，所以不同的插法种数为7×8×9＝504.

答案：504

(教材习题改编)书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法种数为________，从第1，2，3层分别各取1本书，不同的取法种数为________．

解析：由分类加法计数原理知，从书架上任取1本书，不同的取法总数为4＋5＋6＝15.由分步乘法计数原理知，从1，2，3层分别各取1本书，不同的取法总数为4×5×6＝120.

答案：15 120

如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有________条不同的路线．

解析：不同路线共有3×4＋4×5＝32(条)． 答案：32

分类加法计数原理(典例迁移)

x2y2

(1)椭圆＋＝1(m>0，n>0)的焦点在x轴上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，

mn

3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数为( )

A．10 C．20

B．12 D．35

(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．

【解析】 (1)因为焦点在x轴上，m＞n，以m的值为标准分类，由分类加法计数原理，可分为四类：第一类：m＝5时，使m＞n，n有4种选择；第二类：m＝4时，使m＞n，n有3种选择；第三类：m＝3时，使m＞n，n有2种选择；第四类：m＝2时，使m＞n，n有1种选择．故符合条件的椭圆共有10个．故选A.

(2)根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．

由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 【答案】 (1)A (2)36

[迁移探究1] (变条件)在本例(1)中，若m∈{1，2，…，k}，n∈{1，2，…，k}(k∈N*)，其他条件不变，这样的椭圆有多少个？

解：因为m>n.

当m＝k时，n＝1，2，…，k－1. 当m＝k－1时，n＝1，2，…，k－2. …

当m＝3时，n＝1，2. 当m＝2时，n＝1.

k（k－1）

所以共有1＋2＋…＋(k－1)＝(个)．

2

[迁移探究2] (变条件)若本例(2)条件变为“个位数字不小于十位数字”，则这样的两位数的个数是多少？

解：分两类：一类：个位数字大于十位数字的两位数，由本例(2)知共有36个；另一类：个位数字与十位数字相同的有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个．由分类加法计数原理知，共有36＋9＝45(个)．