五年级奥数.杂题.构造与论证(BC级).学生版 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/11/1 7:15:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

构造与论证

知识框架

各种探讨给定要求能否实现,在论证中,有时需进行分类讨论,有时则要着眼于极端情形,或从整体把握.设计最佳安排和选择方案的组合问题,这里的最佳通常指某个量达到最大或最小.解题时,既要构造出取得最值的具体实例,又要对此方案的最优性进行论证.论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计.

组合证明题,在论证中,有时需进行分类讨论,有时则需要着眼于极端情况,或从整体把握。若干点及连接它们的一些线段组成图,与此相关的题目称为图论问题。若干点及连接它们的一些线段组成图,与此相关的题目称为图论问题,这里宜从特殊的点或线着手进行分析.各种以染色为内容,或通过染色求解的组合问题,基本的染色方式有相间染色与条形染色.

例题精讲

板块一、最佳安排和选择方案

【例 1】 在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009,现在将卡片的顺序打乱,让空白面朝

上,并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009.然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加,再将这2009个和相乘,所得的积能否确定是奇数还是偶数?

【巩固】 一个盒子里有400枚棋子,其中黑色和白色的棋子各200枚.下面我们对这些棋子做如下操作:

每次拿出2枚棋子,如果颜色相同,就补1枚黑色棋子回去;如果颜色不同,就补1枚白色的棋子回去.这样的操作,实际上就是每次都少了1枚棋子,那么,经过399次操作后,最后剩下的棋子是 颜色(填“黑”或者“白”).

【例 2】 在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮.按钮每按一次,与它同一行和

同一列方格中的灯泡都改变一次状态,即由亮变为不亮,或由不亮变为亮.如果原来每盏灯都是不亮的,请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?

【巩固】 有3堆小石子,每次允许进行如下操作:从每堆中取走同样数目的小石子,或是将其中的某一

石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆.开始时,第一堆有1989块石子,第二堆有989块石子,第三堆有89块石子.问能否做到:

(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?

【例 3】 在某市举行的一次乒乓球邀请赛上,有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式

进行,就是说每两名选手都要比赛一场.为公平起见,用以下方法记分:开赛前每位选手各有10分作为底分,每赛一场,胜者加分,负者扣分,每胜专业选手一场加2分,每胜业余选手一场加1分;专业选手每负一场扣2分,业余选手每负一场扣1分.问:一位业余选手最少要胜几场,才能确保他的得分比某位专业选手高?

【巩固】 n支足球队进行比赛,比赛采用单循环制,即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分,

平一场得1分,负一场得0分.如果每一队至少胜一场,并且所有各队的积分都不相同,问: (1)n=4是否可能? (2)n=5是否可能?

【例 4】 如图,在时钟的表盘上任意作9个120°的扇形,使得每一个扇形都恰好覆盖4个数,且每两个

扇形覆盖的数不全相同,求证:一定可以找到3个扇形,恰好覆盖整个表盘上的数.并举一个反

例说明,作8个扇形将不能保证上述结论成立.

111098765121234

【巩固】 将1、2、3、4、5、6写在一个圆周上,然后把圆周上连续三个数之和写下来,则可以得到六个

数a1、a2、a3、a4、a5、a6,将这六个数中最大的记为A.请问在所有填写方式中,A的最小值是什么?

614325

【例 5】 1998名运动员的码依次为1至1998的自然数.现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队,使

得剩下的运动员中没有一个人的码等于另外两人的码的乘积.那么,选为仪仗队的运动员最少有多少人?

【巩固】 一组互不相同的自然数,其中最小的数是1,最大的数是25,除1之外,这组数中的任一个数

或者等于这组数中某一个数的2倍,或者等于这组数中某两个数之和.问:这组数之和的最小值是多少?当取到最小值时,这组数是怎样构成的?

【例 6】 2004枚棋子,每次可以取1、3、4、7枚,最后取的获胜。甲、乙轮流取,如果甲先取,如何

才能保证赢?