内容发布更新时间 : 2024/6/8 7:52:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

07 二次函数与幂函数

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1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x2，y＝x的图象，了解它们的变化情况； 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．

拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 1．幂函数 (1)幂函数的定义

一般地，形如y＝x的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象

α

(3)常见的5种幂函数的性质 函数 特征 性质 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R， 且x≠0} 值域 奇偶性 2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．

R 奇 [0，＋∞) 偶 R 奇 [0，＋ ∞) 非奇非偶 {y|y∈R， 且y≠0} 奇 y＝x y＝x2 y＝x3 1y＝x2 y＝x1 －(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 值域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) ?4ac－b，＋∞? ?4a?b??－∞，－在2a?上单调递减； ?2?－∞，4ac－b? 4a??b??－∞，－在2a?上单调递增； ?2单调性 ?b?在－2a，＋∞上单调递增 ??b函数的图象关于x＝－2a对称 ?b?在－2a，＋∞上单调递减 ??对称性

高频考点一 幂函数的图象和性质

2??1α

例1、(1)已知幂函数f(x)＝k·x的图象过点?，?，则k＋α等于( )

?22?13A.2 B．1 C.2

D．2

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(2)若(2m＋1)2>(m2＋m－1)2，则实数m的取值范围是( ) －5－1???5－1?

A.?－∞， B.??? ，＋∞2???2?C．(－1，2)

D.?

?5－1?

，2?

?2?

2?1?【解析】 (1)由幂函数的定义知k＝1.又f2＝2，

??213?1?所以2＝2，解得α＝2，从而k＋α＝2. ??1

(2)因为函数y＝x2的定义域为[0，＋∞)，

α

【答案】 (1)C (2)D

【方法规律】 (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；

(2)α的正负：当α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降．

(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．

【变式探究】 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )

(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn 2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( ) A．－3 B．1

C．2 D．1或2

α

α

【解析】 (1)设f(x)＝x(α∈R)，则4＝2， 11

∴α＝2，因此f(x)＝x2，根据图象的特征，C正确．

(2)∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn 2－3n在(0，＋∞)上是减函数，

2??n＋2n－2＝1，∴?2∴n＝1， ?n－3n<0，?

又n＝1时，f(x)＝x

－2

的图象关于y轴对称，故n＝1.