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数学：2.2.1《综合法和分析法》教案

教学目标：

<一）知识与技能：

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合

法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 <二）过程与方法:

培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力； <三）情感、态度与价值观：

通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 第一课时 2.2.1 综合法和分析法<一）

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.tFAx82mkCG 教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.

教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：

一、复习准备： 1. 已知 “若，且，则”，试请此结论推广猜想. <答案：若，且，则 ） 2. 已知，，求证：.

先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？ 二、讲授新课： 1. 教学例题：

① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2> + b(c2 + a2> + c(a2 + b2> > 6abc.tFAx82mkCG 分析：运用什么知识来解决？<基本不等式） → 板演证明过程<注意等号的处理）

→ 讨论：证明形式的特点

② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.tFAx82mkCG 框图表示：导果.

③ 练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证

.

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要点：顺推证法；由因

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④ 出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC等边三角形.tFAx82mkCG 分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？

→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.

→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件<内角和） 2. 练习：

① 为锐角，且，求证：. <提示：算） ② 已知 求证：

3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.tFAx82mkCG 三、巩固练习：

1. 求证：对于任意角θ，. <教材P100 练习 1题）

<两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程） 2. 的三个内角成等差数列，求证：. 3. 作业：教材P102 A组 2、3题.

第二课时 2.2.1 综合法和分析法<二）

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.tFAx82mkCG 教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：基本不等式的形式？ 2. 讨论：如何证明基本不等式.

<讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件） 二、讲授新课： 1. 教学例题： ① 出示例1：求证.

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讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？

→ 板演证明过程 <注意格式）

→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法

② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件<已知条件、定理、定义、公理等）为止.tFAx82mkCG 框图表示：索因.

③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：. 先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.

④ 出示例2：见教材P97. 讨论：如何寻找证明思路？<从结论出发，逐步反推）

⑤ 出示例3：见教材P99. 讨论：如何寻找证明思路？<从结论与已知出发，逐步探求）

2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面<指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.tFAx82mkCG 提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为

，周长为l的正方形边长为，截面积为，问题只需证：> .tFAx82mkCG 3. 小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析>，从“已知”推“可知”<综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. <框图示意）tFAx82mkCG 三、巩固练习：

1. 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：

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略证：正弦、余弦定理代入得：， 即证：，即：，即证：<成立）.

2. 作业：教材P100 练习 2、3题.

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要点：逆推证法；执果