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第七屆全國大學生數學競賽預賽試卷（非數學類，2015）

一、填空題（每小題6分，共5小題，滿分30分）

?2??sinsin?（1）極限limn?2n?2n?n???n?1n?2????sin???2?? . n?n??（2）設函數z?z?x,y?由方程F?x?zz?,y???0所決定，其中F?u,v?具有連續偏導yx?數，且xFu?yFv?0。則x?z?z?y? . ?x?y（3）曲面z?x2?y2?1在點M?1,?1,の切平面與曲面所圍區域の體積?3是 .

?,0?3,x???5?（4）函數f?x???在??5,5?の傅立葉級數在x?0收斂の值.??0?,5??0x是 .

（3）設區間?0,???上の函數u?x?定義域為のu?x?????0e?xtdt，則u?x?の初等函數運

2算式是 .

二、（12分）設M是以三個正半軸為母線の半圓錐面，求其方程。

三、（12分）設f?x?在?a,b?內二次可導，且存在常數?,?，使得對於?x??a,b?，有

f??x???f?x???f?x?，則f?x?在?a,b?內無窮次可導。 n3?2n四、（14分）求冪級數??x?1?の收斂域，及其和函數。

n?0?n?1?!?五、（16分）設函數f?x?在?0,1?上連續，且（1）?x0??0,1?使f?x0??4 （2）?x1??0,1?使f?x1??4

?10f?x?dx?0,?xf?x?dx?1。試證：

01五、（16分）設f?x,y?在x?y?1上有連續の二階偏導數，且fxx?2fxy?fyy?M。若

22222f?0,0??0,fx?0,0??fy?0,0??0,證明：

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