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第三节
圆_的_方_程
[知识能否忆起]
1．圆的定义及方程 定义 标准 方程 一般 方程 2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系： (1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2. (2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2 1．(教材习题改编)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是( ) 1 A.＜m＜1 4 1 C．m＜ 4 1 B．m＜或m＞1 4D．m＞1 22平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0) x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心：(a，b)，半径：r DE－，－?， 圆心：?2??21半径：D2＋E2－4F 21 解析：选B 由(4m)2＋4－4×5m＞0得m＜或m＞1. 4 2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是( ) A．(－1,1) B．(0,1) D．(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4， ∴－1＜a＜1. 3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 解析：选A 设圆心坐标为(0，b)，则由题意知?0－1?2＋?b－2?2＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1. 4．(2012·潍坊调研)圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋3y－3＝0的距离为________． 解析：圆心(1,0)，d＝答案：1 5．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为 ____________________． 解析：设圆的方程为x2＋y2＝a2(a＞0) ∴ ＝a，∴a＝2， 1＋1|2| |1－3|1＋3 ＝1. ∴x2＋y2＝2. 答案：x2＋y2＝2 1.方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是： (1)B＝0；(2)A＝C≠0；(3)D2＋E2－4AF＞0. 2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上． (3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 典题导入 [例1] (1)(2012·顺义模拟)已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为( ) 43 A.?x±?2＋y2＝ 3?3? 13 B.?x±?2＋y2＝ 3?3?圆的方程的求法 43C．x2＋?y±?2＝ ?3?3 13D．x2＋?y±?2＝ ?3?3 (2)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________________． 2π[自主解答] (1)由已知知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0， 3ππ233 b)，半径为r，则rsin＝1，rcos＝|b|，解得r＝，|b|＝，即b＝±. 33333 43故圆的方程为x2＋?y±?2＝. ?3?3(2)圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋F＝0， ??26＋5D＋F＝0，则? ?10＋D＋F＝0，? ??D＝－4，解得? ?F＝－6.? 圆C的方程为x2＋y2－4x－6＝0. [答案] (1)C (2)x2＋y2－4x－6＝0 由题悟法 1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r或D，E，F的方程组． 2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用． 以题试法 1．(2012·浙江五校联考)过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆的方程是( ) A．(x－4)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 B．x2＋(y－2)2＝4 D．(x－2)2＋(y－1)2＝5 解析：选D 易知圆心为坐标原点O，根据圆的切线的性质可知OA⊥PA，OB⊥PB，因此P，A，O，B四点共圆，△PAB的外接圆就是以线段OP为直径的圆，这个圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5. 典题导入 [例2] (1)(2012·湖北高考)过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ) 与圆有关的最值问题