内容发布更新时间 : 2025/6/22 21:15:15星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
2ak
＋2akx＝0，故x1＝0，x2＝－22.
1＋ak
2
2
因此|AP|＝1＋k|x1－x2| 2a|k|2＝22·1＋k. 1＋ak
(Ⅱ)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2>0，k1≠k2.
2a|k1|1＋k1由(Ⅰ)知，|AP|＝， 22
1＋ak12a|k2|1＋k2
|AQ|＝， 22
1＋ak2
2a|k1|1＋k12a|k2|1＋k2故＝， 2222
1＋ak11＋ak2
所以(k1－k2)[1＋k1＋k2＋a(2－a)k1k2]＝0. 由于k1≠k2，k1，k2>0得
1＋k1＋k2＋a(2－a)k1k2＝0，因此 1122
(2＋1)(2＋1)＝1＋a(a－2)，① k1k2
因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a(a－2)>1，所以a>2.
因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1
aa2
22
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
22
2
22
22
22
22
2
xy
1．(2017·福建厦门一模)已知椭圆＋＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点
95A(0,23)，当△APF的周长最大时，△APF的面积等于( )
2
2
A.113 4114
B.
213
4214
C.
2
2
D.
xy22
解析：由椭圆＋＝1知a＝3，b＝5，c＝a－b＝2，在Rt△AOF中，|OF|＝2，
95|OA|＝23，则|AF|＝4.设椭圆的左焦点为F1，则△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF1|＝4＋6＋|PA|－|PF1|≤10＋|AF1|(当且仅当A，P，F1三点共线，P在线
6
xy2
段AF1的延长线上时取“＝”)．此时直线AF1的方程为＋＝1，与椭圆的方程5x＋
－2235322
9y－45＝0联立并整理得32y－203y－75＝0，解得yP＝－(正值舍去)，则△APF的周
81153?213?
长最大时，S△APF＝|F1F|·|yA－yP|＝×4×?23＋?＝4.故选B.
228??
答案：B
xx22
2．(2016·浙江卷)已知椭圆C1：2＋y＝1(m>1)与双曲线C2：2－y＝1(n>0)的焦点重
mn合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )
2
2
A．m>n且e1e2>1 C．m
2
2
2
2
2
2
B．m>n且e1e2<1 D．m
2
2
2
m－1n＋1
解析：由于m－1＝c，n＋1＝c，则m－n＝2，故m>n，又(e1e2)＝2·2＝
mnn＋1n＋1n＋2n＋11
·2＝422＝1＋42 n＋2nn＋2nn＋2n
>1，所以e1e2>1.故选A. 答案：A
3．(2017·石家庄质检)已知两定点A(－2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为________．
y
??x＋2＝－1，
解析：设点A关于直线l的对称点为A(x，y)，则有?yx－2
??2＝2＋3，
11
1
1
1
1
1
2
2
4
2
解得x1
＝－3，y1＝1，易知|PA|＋|PB|的最小值等于|A1B|＝26，因此椭圆C的离心率e＝|AB|44226
＝的最大值为＝. |PA|＋|PB||PA|＋|PB|1326
226
答案：
13
1?3?4．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M?1，?. 2?2?(1)求椭圆C的方程；
→
若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．
xy
解：(1)设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，
ab
7
→→
2
(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足PA·PB＝PM？
22
??由题意得?c1
＝，a2??a＝b＋c，
2
2
22
19
2＋2＝1，a4b
，
解得a＝4，b＝3.
22
xy
故椭圆C的方程为＋＝1.
43
(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y＝k1(x－2)＋1，代入椭圆C的方程得，(3＋4k1)x－8k1(2k1－1)x＋16k1－16k1－8＝0.
因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，1222
y2)，所以Δ＝[－8k1(2k1－1)]－4(3＋4k1)·(16k1－16k1－8)＝32(6k1＋3)>0，所以k1>－.
2
8k1
又x1＋x2＝
2
2
2
2
2
－23＋4k1
1
16k1－16k1－8x1x2＝， 2
3＋4k1
→
→→
2
因为PA·PB＝PM，
5即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝， 4522所以(x1－2)(x2－2)(1＋k1)＝PM＝. 452即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k1)＝. 416k1－16k1－88k12k1－14＋4k1512
所以[－2·＋4]·(1＋k)＝＝，解得k＝±. 11222
3＋4k13＋4k13＋4k14211因为k1>－，所以k1＝. 221
于是存在直线l1满足条件，其方程为y＝x. 2
22
→
8
9