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第九章 直线与圆的方程

第1节 直线的方程与两条直线的位置关系

1．（2017浙江11）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率?，理论上能把

?的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将?的值精确到小数点后七位，

其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，

S6? .

1.解析 正六边形的面积为6个正三角形的面积和，所以S6=6创题型102 倾斜角与斜率的计算——暂无

133. 1创1sin60o=221.（2013江西理9）过点(2,0)引直线l与曲线y?1?x2相交于A，B两点，O为坐标

原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于（ ）. A．

333 B．? C．? D．?3 33322?3?射出，2．（2015山东理9）一条光线从点??2，经y轴反射后与圆?x?3???y?2??1

相切，则反射光线所在直线的斜率为( ).

A．?或?

5335

B．?32或? 23

C．?54或? 45

D．?43或? 342.解析 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点?2,?3?．

设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y?3?k?x?2?， 即kx?y?2k?3?0．由题意，圆心??3,2?到此直线的距离等于圆的半径1，

即?3k?2?2k?3k2?143?1，所以12k2?25k?12?0，解得k??或k??．故选D．

34题型103 直线的方程——暂无

1.（2013山东理9）过点?3,1?作圆?x?1??y2?1的两条切线，切点分别为A，B，则

2直线AB的方程为（ ）.

A. 2x?y?3?0 B. 2x?y?3?0 C. 4x?y?3?0 D. 4x?y?3?0

2.（2013江苏17）

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y?2x?4.设圆C的半径为1，圆心在l上.

（1）若圆心C也在直线y?x?1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （2）若圆C上存在点M，使MA?2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.

OyAlx223．. （2015广东理5）平行于直线2x?y?1?0且与圆x?y?5相切的直线的方程是（ ）

A．2x?y?5?0或2x?y?5?0 B．2x?y?5?0或2x?y?5?0 C．2x?y?5?0或2x?y?5?0 D．2x?y?5?0或2x?y?5?0 3.解析 设所求切线方程为2x?y?c?0，依题意有0?0?c2?122?5，解得c??5，

所以所求切线的方程为2x?y?5?0或2x?y?5?0．故选A．

题型104 两直线位置关系的判定——暂无

221．. （2015广东理5）平行于直线2x?y?1?0且与圆x?y?5相切的直线的方程是（ ）

A．2x?y?5?0或2x?y?5?0 B．2x?y?5?0或2x?y?5?0 C．2x?y?5?0或2x?y?5?0 D．2x?y?5?0或2x?y?5?0 1.解析 设所求切线方程为2x?y?c?0，依题意有0?0?c2?122?5，解得c??5，

所以所求切线的方程为2x?y?5?0或2x?y?5?0．故选A．

2．（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆．．．．O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．

（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；

（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；

（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．

2.解析 解法一：

（1）过A作AE?BD，垂足为E.

由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE?BE?AC?6, AE?CD?8.' 因为PB⊥AB，

所以cos?PBD?sin?ABE?所以PB?84?. 105BD12??15.

cos?PBD45因此道路PB的长为15（百米）.

（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求. ②若Q在D处，联结AD，由（1）知AD?AE2?ED2?10，

AD2?AB2?BD27??0，所以∠BAD为锐角. 从而cos?BAD?2AD?AB25所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此，Q选在D处也不满足规划要求. 综上，P和Q均不能选在D处.

（3）先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求； 当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.

?AB，由（1）知，P1B=15， 设P1为l上一点，且PB1此时PD?PB?PB11sin?PBD11cos?EBA?15?3?9； 5?15. 当∠OBP>90°时，在△PPB中，PB?PB11由上可知，d≥15. 再讨论点Q的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，

CQ?QA2?AC2?152?62?321.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆

O的半径.

综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=321时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321. 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H. 以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.

因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，?3. 因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25. 从而A（4，3），B（?4，?3），直线AB的斜率为因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为?3. 44， 3直线PB的方程为y??425. x?33所以P（?13，9），PB?(?13?4)2?(9?3)2?15. 因此道路PB的长为15（百米）.

（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（?4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处，联结AD，由（1）知D（?4，9），又A（4，3）， 所以线段AD：y??3x?6(?4剟x4). 4215?15?在线段AD上取点M（3，），因为OM?32????32?42?5，

4?4?所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求. 综上，P和Q均不能选在D处. （3）先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求； 当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.

?AB，由（1）知，P1B=15，此时P1（?13，9）； 设P1为l上一点，且PB1?15. 当∠OBP>90°时，在△PPB中，PB?PB11由上可知，d≥15. 再讨论点Q的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由AQ?(a?4)2?(9?3)2?15(a?4)，得a=4?321，所以Q（4?321，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上，当P（?13，9），Q（4?321，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离

PQ?4?321?(?13)?17?321. 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17?321（百米）.