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高等数学习题集
第一章 函数极限与连续
一.选择题
1．若函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(lnx)的定义域是（ B ）。 A [0,1] B [1,e] C [0,e] D (1,e) 2．设f(x)?1?1，则f[f(x)]=（ A ）。(2002-03电大试题) xxx11A.1? B. C.1? D.。
1?x1?x1?x1?x3．设f(x)=e2x，则函数F(x)?f(x)?f(?x)是（ B ）。
A 奇函数； B 偶函数； C 既是奇函数又是偶函数； D 非奇非偶函数。
4．下列说法错误的是（ D ）。
2A y=x与y=|x|表示同一函数； B f(x)?1sin3x是有界函数； 2C f(x)?cosx?x不是周期函数； D y?x2?1在(－∞,＋∞)内是单调函数。 5．下列函数中非奇非偶的函数是（ D ）。
ex?e?xA f(x)?lg|x|； B f(x)?； C f(x)?x?sinx； D f(x)?x?|x|。
26．下列函数中（ A ）是基本初等函数。
A f(x)??x； B f(x)??x； C f(x)?x?2； D f(x)?x2?x。 7．函数（ A ）是初等函数：
?x2?11?x,x?1,?A y?； B y??x?1
arccosx?0,x?1.?2C y?ln(?x)n?1； D y?1?2?4???2?? lnx8．“数列{xn}的极限存在”是“数列{xn}有界”的（ A ）。 A 充分但非必要条件； B 必要但非充分条件；
C 充分必要条件； D 既非充分亦非必要条件。 9．lim5x的值是（ D ）。
x??A +∞； B -∞； C 0； D 不存在。 10．lime-x的值是（ A ）。
x???A 0； B +∞； C 1； D 不存在。
f(x)?A，limf(x)?A，则下列说法中正确的是（ B ）11．lim。 ??x?x0x?x?1
A f(x?)?A； B limf(x)?A C f(x)在点x0有定义； D f(x)在点x0连续。
x?x?12．根据（ C ）所给的条件，不能确定f(x)在x0处一定连续。 A lim?y?0； B limf(x)?f(x0)
?x?0x?x0f(x)?limf(x) D lim[f(x0??x)?f(x0)]?0 C lim??x?x0x?x0?x?013．在x?x0变化过程中，如果?是对于?的高阶无穷小量，则（ C ）一定成立。 A ??? B lim????0 C lim?0 D lim?A(常数) x?x0?x?x0?x?x0?14．若limf(x)?A，则下列说法中错误的是（ C ）。
x?x0f(x)?limf(x)?A B A与f(x0)的存在无关； A lim??x?x0x?x0C f(x0)?A； D f(x)=A+α（limα=0）。
x?x015．下列极限为1的是（ D ）。
1111； B limsinx； C limxsin； D limsinx。
x?0x??xx??x?0xxx116．极限lim(x?1)sin=（ C ）。(02-03电大试题)
x?1x?1A limxsinA. -1 B. 1 C. 0 D. 不存在
17．下面各式不成立的是（ A ）。
A lime?0 B lime?0 C lime?1 D limex?1
xx21x1x??x???x???x???|x|,x?0?18．函数f(x)??|x|在x?0处的左、右极限（ D ）。
,x?0??xA 0，0； B 1，1； C 0，–1； D –1，0；
二.填空题：
?r?rt1．连续复利公式Pt?limP0?1??=pe。
n???n?2．若y?f(x)在点x0连续，则lim△y= 0 。
?x?0nt3．若y?f(x)在点x0连续，则lim[f(x)?f(x?)]= 0 。
x?x?2
4．若limf(x)?A（常数），limg(x)?0，则lim[f(x)g(x)]? 0 。 5．若函数f(x)在x=x0处连续，且f(x?)??，则lim2f(x)? 6 。
x?x06．函数f(x)?sinx的连续区间是(??,0)?(0,??)。 x7．（最值存在定理）若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一定有 最大值和最小值 。 8．（零值定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间两端点处的函数值f(a)、f(b)异号，则在(a,b)内至少有点c，使f(c)?0。
三、解答题：
1．求极限limx?0x?sinx。
x?tanxsinxsinx1?limx?sinxx?0x?x?1?1?0 解：lim?limx?0x?tanxx?0tanxsinx1?11?1?limx?0xxtan3x?sin2x2．求极限lim。
x?0xtan3x?sin2xtan3xsin2x?lim?lim?3?2?1 解：limx?0x?0x?0xxx1??x?1?3．求极限lim??。 x??x?1??x?1?1??lim?1??x1????1x??ex?x?1???x??解：lim???e?2。 ??lim?xx??x?1x???1?e???1??1??lim?1??x??x???x?xxsecx4．求极限lim。 (1?cosx)?x??(1?cosx)解：lim?x??secx?lim(1?cosx)cosx?01cosx?e。
x2?15．求极限limarctan。
x?1x?1x2?1解：因为函数arctan是初等函数，在其定义域内连续。所以
x?12?x2?1x?1????arctan1??。 limarctan?arctanlimx?1?x?1x?1?x?14??3