内容发布更新时间 : 2024/5/14 12:22:23星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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§2 数学归纳法与数列的极限

一、基础知识点

1. 推理与证明

推理方法有：合情推理与演绎推理.

合情推理有：类比，不完全归纳，猜想等. 演绎推理：严格的逻辑证明.

2. 数学归纳法：是证明有关自然数的命题的一种方法，属于完全归纳法，其证明步骤如下： 第一步：验证当n取第一个允许值n0时命题成立；

第二步：假设当n?k(k?n0)时命题成立（归纳假设），证明当n?k?1时命题也成立.

*完成以上两步，就能断言：对一切n?N,n?n0，命题都成立.

3. 归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴涵的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解 （1）学会探索与发现的规律方法：

演绎——从一般到一般（结论一定正确）； 类比——从特殊到特殊（结论不一定正确）； 归纳——从特殊到一般（结论不一定正确）.

（2）归纳猜想得到的结论不一定正确，必须经过严格的逻辑证明，而与自然数有关的结论的证明，常用数学归纳法.

4. 数学归纳法证明过程中的两个步骤缺一不可. 第一步是归纳的基础，这是一个成立的实事；第二步是证明的关键，在归纳假设的前提下完成证明. 如果不用归纳假设而完成了证明过程，那不叫数学归纳法证明.

多米诺骨牌.

5. 数学归纳法的原理： （1）1?2?3?4? （2）1?3?5?7?； ；

（3）

3??2??????41?????3??2???

6. 归纳猜想证明的一般步骤：

①计算命题取特殊值时的结论；

②对这些结果进行分析，探索数据的变化规律，并猜想命题的一般结论； ③证明所猜想的结论. 7. 数列极限

（1）定义：一般地，在n无限增大的变化过程中，如果无穷数列?an?中的项an无限趋近于一个常数A，那么A叫做数列?an?的极限，或称作数列?an?收敛于A，记作liman?A.

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数列极限存在的条件：①无限数列；②当n趋向于无穷时，an无限趋近于某一常数. （2）数列极限的运算法则： 若liman?A,limbn?B，则

n??n?? ①lim(an?bn)?A?B； ②lim(an?bn)?A?B；

n??n?? ③lim(an?bn)?A?B； ④limn??anA?(B?0).

n??bBn 特别，若C为常数，则lim(C?an)?C?A.

n?? （3）三个常用的极限：

①limC?C（C为常数）； ②limn??1?0； n??n|q|?1时?0,?nq?1时 ③limq??1,

n???不存在，|q|?1或q??1.? （4） 无穷等比数列各项的和：

若无穷等比数列?an?的公比|q|?1，则其各项的和为S?limSn?n??a1. 1?q 8. 关于数列极限概念的理解：

①极限是一种变化趋势，并不一定有an=A； ②“无穷大?”的意思是要有多大就有多大； ③若liman?A，则liman?1?liman?A.

n??n??n?? 9. 常见数列极限类型：

?型：极限不存在； 00 ②0?0、0?0、型：极限均为0；

??0 ③???、、、0??型：极限不确定，有的存在，有的不存在.

?0 ①???、

?0，m?k,?ak?nk?ak?1?nk?1??a1?n?a0?am ④有理分式型：lim??，m?k, m?1n??b?nm?b??b1?n?b0?bmmm?1?n?不存在，m?k.?

二、基础自测

1. 一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于( B )

A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立

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C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对

2. 设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系是( C )

A．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1 B．f(k＋1)＝f(k)＋k－1 C．f(k＋1)＝f(k)＋k D．f(k＋1)＝f(k)＋k＋2

解析：当n＝k＋1时，任取其中1条直线，记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f(k)＋k＝f(k＋1)．

3. 已知某个关于自然数n的命题P(n)，如果当n?k(k?N)时该命题成立，那么可得当n?k?1时命题也成立.

①写出当n=4时命题成立的所有充分条件： ； ②写出当n=4时命题成立的一个必要条件： ；

③现在已知当n=4时，该命题不成立，则下列说法正确的是 ： A．当n=3时该命题不成立； B．当n=5时该命题不成立； C．当n=1时该命题可能成立；

D．当n=5时，该命题可能成立，如果n=5时命题成立，那么对于任意自然数n?5，该命题都成立. 解：①是找到推出“n=4”成立的条件；②是找到由“n=4”能推出什么；③可用等价于逆否命题来判断：“n?3成立?n?4成立” ?“n?4不成立?n?3不成立”. ①n=1成立、n=2成立、n=3成立； ②n=5或n=6或n=7… ③A、D均正确

1

4. 已知数列{an}满足：a1＝，且对任意正整数m、n，都有am＋n＝aman，若数列{an}的前n项和为

3Sn，则limSn?＝( )

n??*123

A. B. C. D．2 232

11111111

【解析】 a1＝，a2＝×＝，a3＝×＝，a4＝ 333939278111

∴{an}是首项为公比为的等比数列

33131

∴limSn＝＝. 【答案】 A

12n→∞

1－3

(a＋2b)n2＋2n＋11

5. 若lim ＝，则实数a＋b为( )

2bn＋3n??A．－2 B．2 C．－4 D．4