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【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之64万能公式
一、选择题（共4小题；共20分） 1. 已知 tan=3，则 cos??= ??
2??
A. ?5 cot???13
3
B. ?5 4
C. ?15
4
D. ?15
3
2. 若 2cot??+1=1，则 cos2θ 的值为 ??
A. 5
7
B. ?5 7
3
C.
2 55
D. ?
2 55
3. 已知角 ?? 的始边与 ?? 轴的非负半轴重合，终边过点 ?? ?3,4 ，则 cos2?? 的值为 ??
A. ?25
4. 给出下列三个命题： ①函数 ??=ln
21
1?cos??1+cos??
B. 25 ??
C. ?25
24
D. 25 24
与 ??=lntan 是同一函数；
2
1
②若函数 ??=?? ?? 与 ??=?? ?? 的图象关于直线 ??=?? 对称，则函数 ??=?? 2?? 与 ??=2?? ?? 的图象也关于直线 ??=?? 对称；
③若奇函数 ?? ?? 对定义域内任意 ?? 都有 ?? ?? =?? 2??? ，则 ?? ?? 为周期函数． 其中真命题是 ??
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ②
二、填空题（共3小题；共15分）
5. 若 1?tan??=2010，则 cos2??+tan2??= ． 6. 已知 sin ??+6 sin ???6 =20，则 tan??= ．
7. 已知 tan ??+?? =4，tan ????? =2，则 sin4?? 的值为 ．
π
π
11
1+tan??
1
三、解答题（共9小题；共117分）
8. 已知 4sin2???6sin???cos2??+3cos??=0，求 1?cos2?? 1?tan2?? 的值． 9. 已知 4sin???6sin???cos??+3cos??=0，求 1?cos2?? 1?tan?? 的值． 10. 已知锐角 ??，?? 满足 tan ????? =sin2??，求证：2tan2??=tan??+tan??． = 2sin??,5sin???4cos?? ，??∈ 11. 已知向量 ?? = 3sin??,cos?? ，??
（1）求 tan?? 的值；
（2）求 cos2+3 的值．
12. 在锐角三角形 ?????? 中，有 2tan??=tan??+tan??，且 ?? ?? 满足 ?? cos2?? =cos ??+????? ，求：
（1）tan??tan?? 的值；
（2）?? ?? 的解析式．
13. 点 ??，?? 分别在射线 ??1:??=2?? ??≥0 ，??2:??=?2?? ??≥0 上运动，且 ??△??????=4．
??
π
3π2
2
2
cos2???
4
5
cos2???sin2??
． ,2π ，且 ?? ⊥??
第1页（共7页）
（1）求线段 ???? 的中点 ?? 的轨迹方程；
（2）求证：中点 ?? 到两射线的距离积为定值．
14. 设点 ?? 是双曲线 9?16=1 上一点，过点 ?? 的直线与双曲线的两条渐近线分别交于 ??1，??2 两点，
1 ?? =3???? 并且 ??2，?? 为坐标原点，求 △????1??2 的面积． 15. 在直角坐标系 ?????? 中，双曲线
为 arctan．
43
??2??2
??2
??2
?
??2??2
=1（??>0，??>0）的焦距为 10，一条渐近线的倾斜角
（1）求双曲线方程及渐近线的方程；
（2）设 ?? 为双曲线的右顶点，过 ?? 作一条渐近线的平行线交另一条渐近线于 ?? 点，求 △??????
的面积 ??；
（3）当 ?? 在双曲线上运动时，试研究 △?????? 的面积的变化情况．
16. 点 ??，?? 分别在射线 ??1:??=2?? ??≥0 ，??2:??=?2?? ??≥0 上运动，且 ??△??????=4．
（1）求线段 ???? 的中点 ?? 的轨迹方程； （2）求证：中点 ?? 到两射线的距离积为定值.
第2页（共7页）
答案
第一部分 1. B 2. A 3. A 4. C
【解析】cos??=
??2??21+tan21?tan2
=?．
5
1
1?tan2??
1411+4
4
【解析】由 2cot??+1=1，解得 tanθ=?2，所以 cos2θ=1+tan2??=【解析】依题意得 tan??=
4?3
cot???1
1?
=5．
3
=?，cos2??=
3
4
1?tan2??1+tan2??
=
423421+ ? 3
1? ? =?．
25
7
【解析】①中的两个函数的定义域不同，故此项错误；
12
②中的两个函数 ??=?? ?? 和函数 ??=?? ?? 互为反函数，则可判断函数 ??=?? 2?? 和函数 ??=?? ?? 也互为反函数，故此项正确；
③中可得 ?? ?? =?? ??+4 ，故可判断函数 ?? ?? 是周期为 4 的周期函数，故此项正确． 第二部分 5. 2010 【解析】
1
+tan2??cos2??12tan??
+
2cos2???11?tan2??12tan??
=+22?11?tan?? =
1+tan??1?tan??=2010.=
6. ±2
【解析】本题主要考查积化和差公式与倍角公式． 解法1：因为 sin ??+6 sin ???6 =20，
所以 ?2 cos ??+6+???6 ?cos ??+6???+6 =20． 所以 cos2??=?5=1+tan2??． 所以 tan??=±2．
解法2：因为 sin ??+6 sin ???6 =20，
所以 sin??cos6+cos??sin6 sin??cos6?cos??sin6 =20， 所以 4sin2???4cos2??=20， 所以 ×
43
1?cos2??
23
3
1
11
14
1+cos2??
2
1120
π
π
π
π
11
π
π
11
3
1?tan2??
1
π
π
π
π
11
π
π
11
1+tan2??
?×=．
即 cos2??=?5=1+tan2??． 所以 tan??=±2． 7. ?85
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84
1?tan2??