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第讲与圆有关的位置关系

,知识清单梳理)

两种位置关系

．点与圆的位置关系共有三种：①点在圆内；

②点在圆上；③点在圆外．对应的点到圆心的距离和半径之间的数量关系分别为：①＝；②＜；③＞.

．直线与圆的位置关系共有三种：①相交；②相切；③相离．对应的圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系分别为：①＜，②＝，③＞.

切线

．切线定义：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线．

．判定定理：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．

．性质：从圆外一点可以向圆引两条切线，交点到切点的距离相等．

,云南省近五年高频考点题型示例)

切线的判定与性质

【例】(官渡一模)如图，为⊙的直径，为⊙上一点，点是的中点，⊥于点，⊥于点. ()求证：是⊙的切线； ()若＝，求的长度．

【解析】()作半径证垂直，∵⊥于点，∴只要证∥即可；()证明△∽△即可． 【答案】解：()连接，.

∵点是的中点， ∴＝，∴∠＝∠. ∵＝， ∴∠＝∠， ∴∠＝∠， ∴∥. ∵⊥， ∴⊥，

又∵是⊙的半径， ∴是⊙的切线； ()连接.

∵是⊙的直径， ∴∠＝°， ∵∥，

∴∠＝∠.

∵⊥，∴∠＝∠＝°， ∴△∽△， ∴＝＝， 即＝， ∴＝.

．(昆明中考)已知：如图，是⊙的直径，是⊙的弦，点是⊙外一点，∠＝∠. ()求证：是⊙的切线；

()若∥，且＝，＝，求⊙的半径．

解：()连接.∵是直径， ∴∠＝°. ∴∠＋∠＝°. ∵＝， ∴∠＝∠. ∵∠＝∠， ∴∠＋∠＝°， ∴⊥.

又∵点在⊙上，是半径， ∴是⊙的切线； ()∵∥， ∴∠＝∠. 又∵＝， ∴∠＝∠，

∴∠＝∠.

又∵∠＝∠＝°， ∴△∽△，∴＝.

设的长为，那么的长为， ∵＝，＝，

∴＝，

∴＝或＝－(舍去)，

∴⊙的半径为. ．(曲靖中考)如图，，是⊙的切线，，为切点，是⊙的直径，，的延长线相交于点.

()若∠＝°，求∠的度数；

()当∠为多少度时，＝？并说明理由． 解：()∵是⊙的切线， ∴∠＝°－∠＝°， 又∵，是⊙的切线， ∴＝，

∴∠＝∠＝°， ∴∠＝°－°×＝°； ()当∠＝°时，＝. 理由：当∠＝°时， 由()知∠＝∠＝°， ∴∠＝°－°×＝°， ∵，是⊙的切线， ∴∠＝∠＝°.

在△中，∠＝°－∠＝°， ∴∠＝∠，

∴＝.

．(昆明中考)如图，是⊙的直径，平分∠，交⊙于点.过点的直线⊥，垂足为点，点为半径上一点，点，分别在矩形的边和上．

()求证：直线是⊙的切线； ()若＝，＝，求⊙的直径．

解：()连接， ∵＝， ∴∠＝∠. ∵平分∠， ∴∠＝∠，