内容发布更新时间 : 2025/5/17 17:20:41星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

知识点3．函数y?f(x)在x?x处的导数几何意义

0函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 【典例3】（2019·天津高考真题（文）） 曲线【答案】【解析】

，

当x?0时其值为?

在点?0,1?处的切线方程为__________.

1， 2，即

。

故所求的切线方程为【规律方法】

导数运算及切线的理解应注意的问题：

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．

二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 曲线切线方程的求法：

(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f(x)的导数f′(x)； ②求切线的斜率f′(x0)；

③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．

(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进

而确定切线方程．

【变式3】（2019·全国高考真题（文））已知曲线则（ ） A．【答案】D

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在点?1,ae?处的切线方程为y?2x?b，

B．a?e,b?1

C． D．

【解析】

，?a?e?1

将(1,1)代入y?2x?b得

考点1 求曲线的切线方程

【典例4】（2019·全国高考真题（文））曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为（ ） A．C．【答案】C 【解析】 当x??时，上．为

【易错提醒】

导数运算及切线的理解应注意的问题：

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．

二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 【变式4】（2019·天津高考模拟（文））曲线_____________. 【答案】12 【解析】 由题意可得：∴

,

在点1,f?1?处的切线斜率为

，即

，即点(?,?1)在曲线

则

．故选C．

在点(?,?1)处的切线方程

B．D．

，故选D．

?? 6

∴曲线故答案为：12 考点2 求切点坐标

在点1,f?1?处的切线斜率为12，

??【典例5】（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____. 【答案】(e, 1). 【解析】

设点A?x0,y0?，则y0?lnx10.又y??x， 当x?x10时，y??x， 0点A在曲线y?lnx上的切线为

，

即，

代入点??e,?1?，得，

即x0lnx0?e， 考查函数，当x??0,1?时，H?x??0，当x??1,???时，H?x??0， 且

，当x?1时，

单调递增，

注意到H?e??e，故x0lnx0?e存在唯一的实数根x0?e，此时y0?1， 故点A的坐标为A?e,1?. 【方法总结】

已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.

【变式5】设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线上点P处的切线垂直，则点P的坐标

为 ． 【答案】（1，1）

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【解析】∵函数y＝e的导函数为y′＝e. ∴曲线y＝e在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e＝1. 设P(x0，y0)(x0＞0)， ∵函数y＝的导函数为y?＝－x0

xx1x1， 2x1， 2x0∴曲线

在点P处的切线的斜率k2?＝－由题意知k1k2＝－1，即1·（－解得x0＝1，又x0＞0，∴x0＝1.

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1）＝－1， 2x0又∵点P在曲线上，

∴y0＝1，故点P的坐标为(1,1). 考点3 求参数的值(范围)

【典例6】（2018年全国卷Ⅲ理）曲线【答案】【解析】

则所以

在点

处的切线的斜率为

，则

________．

故答案为-3. 【规律方法】

根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解． 【变式6】（2018届云南省昆明第一中学第八次月考）已知定义在

，设两曲线

A.

B. C. D.

与

上的函数

在公共点处的切线相同，则值等于（ ）

【答案】D 【解析】 依题意设曲线

与

在公共点

处的切线相同.

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