内容发布更新时间 : 2024/6/10 9:10:29星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

离散型随机变量的期望值和方差

一、基本知识概要：

1、 期望的定义：

一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为 ξ P x1 P1 x2 P2 x3 P3 … … xn Pn … … 则称Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+…+xnPn+…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。 它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。

若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也是随机变量，且Eη=aEξ+b。 E(c)= c 特别地，若ξ～B(n，P)，则Eξ=nP

2、 方差、标准差定义：

Dξ=(x1-Eξ)2·P1+(x2-Eξ)2·P2+…+(xn-Eξ)2·Pn+…称为随机变量ξ的方差。 Dξ的算术平方根D?=δξ叫做随机变量的标准差。

随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。 且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2- (Eξ)2。 若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.

3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。 二、例题： 例1、（1）下面说法中正确的是 （ ）

A．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值。 B．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平。 C．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平。

D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值。

（2）、（2001年高考题）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是 。

例2、设?是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E?、D?

? P

练习：已知ξ的分布列为

－1 0 1－2q 1 1 2q2 -1 0 1 ξ (1)求Eξ, Dξ, δξ，

111(2) 若η=2ξ+3,求Eη,Dη

P 236

例3、人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保险费a元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元，经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p1，非意外死亡的概率为p2，则a需满足什么条件，保险公司才可能盈利？

例4：把4个球随机地投入4个盒子中去，设?表示空盒子的个数，求E?、D?

例5、已知两家工厂，一年四个季度上缴利税如下：（单位：万元） 季度 甲厂 乙厂 一 70 55 二 50 65 三 80 55 四 40 65 季平均值 60 60

试分析两厂上缴利税状况，并予以说明。

例6、(1)设随机变量ξ具有分布列为P(ξ=k)=

求Eξ、E(2ξ+3)和Dξ。

(2) 设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=

1(k=1，2，3，4，5，6)， 61 (k=1，2，3，…，n)，求Eξ和Dξ。 n(3)一次英语测验由50道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分150分，某学生选对每一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望与方差。 。

三、课堂小结：

1、利用离散型随机变量的方差与期望的知识，可以解决实际问题。利用所学知识分析和解决实际问题的题型，越来越成为高考的热点，应予重视。

2、 常生产生活中的一些问题，我们可以转化为数学问题，借助于函数、方程、不等式、概率、统计等知

识解决。同时，要提高分析问题和解决问题的能力，必须关注生产和生活。

四、布置作业：教材P195页闯关训练