内容发布更新时间 : 2024/11/1 6:47:32星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第一讲 圆的周长与面积(一)
【知识概述】
圆是由曲线围成的平面图形。在日常生活和学习中我们经常会遇到与圆的周长和面积有关的问题。
圆的周长除以它的直径的商是一个固定不变的数,这个结果被称为“圆周率”。圆周率是一个无限不循环的小数,用字母“π”表示,圆的周长=圆周率x直径,即C=πd或C=2πr。
圆的面积等于圆周率与半径平方的乘积,即S=?r2。
下图圆的阴影部分是一个扇形,它的面积是一个圆的面积的四分之一,它的周长是圆周长的四分之一再加上两条半径的长。
【例题精学】
例1:把4个啤酒瓶扎在一起(如图所示)捆4圈至少用绳子多少厘米? (接头部分用去
15厘米)
思路点拨:用绳子捆4圈的长度就是指周长的4倍。这个图形的周长可分为两类:线段的
长度和弧的长度。而这四条弧正好可以拼成一个圆,每条线段的长正好是圆的直径的长。所以绳子捆1圈的长度就是图中一个圆的周长加上4条直径的长度之和。 【同步精炼】
1、计算下雨中阴影部分的周长。(单位:厘米)
2、一个街心花园如下图的形状,中间正方形的边长是 20 米,四周为半圆 形,这个街心花园的周长是多少米?
3、在学校200米的跑道中,每条跑道宽1.2米.由于有弯道,为了公平,外道和内道选手的起跑线不在同一地点.如:A点处是小明的起跑线,B是小强的起跑线,AB两点的距离是?
例2:如下图,从点A到点B沿着大圆走和沿着中,小圆周走的路程相同吗?
思路点拨:从点A到点B有两种走法:第一种是大圆的周长的一半;第二种是由A到C
的中圆周长的一半与C到B的小圆周长的一半的和。设小圆的直径为a,中原的直径为b,则大圆的直径为a+b。那么第一种走法的路程为C1=πa?2+πb?2;第二种走法的路程为C2=πa?2+πb?2,所以C1=C2. 【同步精炼】
1、下图中,从A点到B点沿着大圆周走和沿着小圆周走,路程相同吗?
2、已知AB=50cm,求圆中各圆的周长总和。
3、已知一个大圆中紧紧的排列着三个半径不同的小
圆(如图),并且这四个圆的圆心恰好在同一条直线上。如果大圆的周长是30cm,那么三个小圆的周长之和是多少?
例3:将半径分别是3厘米和2厘米的两个半圆按下图形状放置,求阴影部分的周长。
思路点拨:阴影部分的周长为小半圆的弧长加上大半圆的弧长,再加上两条线段的长。
两个半圆的弧长是2×2×3.14÷2+2×3×3.14÷2=15.7(厘米) 两条线段的长是3+(2×2-3)=4(厘米) 这样就求出阴影部分的周长了。
【同步精炼】
1、一个半圆的周长是20.56厘米,这个半圆的直径是多少厘米?
2、以B与C为圆心的两个半圆的直径都是4分米,求阴影部分的周长。
3、下图中圆的面积等于长方形的面积,已知圆的周长是36厘米,那么图中的阴影部分的周长是多少厘米?
例3:下图是由正方形和半圆组成的图形,其中P点为半圆的中点,Q点为正方形一边上的
中点,那么阴影部分的面积是多少?(单位:厘米)
思路点拨:求阴影部分的面积最常用的方法叫做“排空法”。所谓排空法就是指用图形外
围的面积减去空白部分的面积就是阴影部分的面积。此题中图形外围的面积应该是正方形和半圆面积之和,比较好求。空白部分是个不规则的四边形,我们可以用分割的方法把它分成几块基本图形再求面积。
连接BP,则图中阴影部分面积可以用正方形与半圆面积的和减去三角形ABP与三角形BPQ的面积之和。
【同步精炼】
1、下图小半圆的半径为4厘米,求阴影部分的面积。
2、下图中三角形的面积是12平方厘米,求阴影部分的面积。
第二讲 圆的周长与面积(二)
【知识概述】
在上一讲中,我们知道了求阴影部分面积常用的方法是“排空法”。除此之外,还经常用到“二次求差法”、“平移旋转法”。
所谓“二次求差法”就是利用“排空法”求图中阴影部分的面积,而空白部分的面积也要通过两个图形面积相减求得。
有些不规律的组合图形(或阴影部分)的面积计算,无法直接或较难直接求得,但是通过将这些图形分割,或将这些图形平移、旋转后重新组成一个面积大小不变的新图形,这时面积很容易求得。这种方法就是“平移旋转法”。
【例题精学】
例1:在长方形ABCD中,AB=6厘米,BC=4厘米,扇形ABE的半径AE=6厘米,扇形
CBF的半径CF=4厘米,求图中阴影部分的面积。
思路点拨:观察图形,不难看出图中的阴影部分面积可以用扇形ABE的面积减去空白部
分ABFD的面积,而空白部分ABFD的面积又可以用长方形ABCD的面积减去扇形BCF的面积,这就是“二次求差法”的利用。
【同步精炼】
1、 如下图,扇形AFB恰为一个圆的四分之一,BCDE是正方形,AFBG是正方形,则图中阴
影部分的面积是多少?(单位:厘米)
2、 求下图中阴影部分的面积。(单位:厘米)
3、 下图正方形的边长是4厘米,求阴影部分的面积。