内容发布更新时间 : 2024/6/2 8:45:53星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
梅涅劳斯定理：
定理1：若直线l不经过?ABC的顶点，并且与?ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别交于P、Q、R，则
BPCQAR???1PCQARB证：设hA、hB、hC分别是A、B、C到直线l的垂线的长度，则： BPCQARhBhChA??????1PCQARBhChAhB注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；
例1：若直角?ABC中，CK是斜边上的高，CE是?ACK的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点， 证明：BF//CE。证：在?EBC中，作?B的平分线BH则：?EBC??ACK?HBC??ACE,?HBC??HCB??ACE??HCB?90?即：BH?CE??EBC为等腰三角形作BC上的高EP，则：CK?EPCDAEKF对于?ACK和三点D、E、F依梅涅劳斯定理有：???1 DAEKFCKFEKCKEPBPBKKFBK于是＝????即：＝FCAEACACBCBEFCBEKFBK依分比定理有：＝??FKB??CKE?BF//CEKCKE定理2：设P、Q、R分别是?ABC的三边BC、CA、AB上或它们的延长线上的三点，并且P、Q、R三点中，位于?ABC边上的点的个数为0或2，这时若BPCQAR???1，PCQARB求证：P、Q、R三点共线；
证：设直线PQ与直线AB交于R'，于是由定理1得：BPCQAR'???1又PCQAR'BBPCQARAR'AR???1，则：'＝PCQARBRBRB由于在同一直线上的P、Q、R'三点中，位于?ABC边上的点的个数也为0或2，因此R与R'或者同在AB线段上，或者同在AB的延长线上；若R与R'同在AB线段上，则R与R'必定重合，不然的话，设AR?AR',ARAR'ARAR'''这时AB?AR?AB?AR,即BR?BR,于是可得?这与＝矛盾BRBR'BRBR'类似地可证得当R与R'同在AB的延长线上时，R与R'也重合综上可得：P、Q、R三点共线；
注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；
例2.点P位于?ABC的外接圆上；A1、B1、C1是从点P向BC、CA、AB引的垂线的垂足，证明点A1、B1、C1共线；
BABP?cos?PBC证：易得：1??,CA1CP?cos?PCBCB1CP?cos?PCA??,AB1AP?cos?PAC将上面三条式子相乘，且AC1AP?cos?PAB??BC1PB?cos?PBAC1B A A1 C B1?PAC??PBC,?PAB??PCB,?PCA??PBA?180?BACBAC1可得1?1?＝1，依梅涅劳斯定理可知A1、B1、C1三点共线；CA1AB1BC1【练习】从点1K引四条直线，另两条直线分别交这四条直线于A、B、C、DADACADAC和A1、B1、C1、D1，试证：:?11:11BCBDB1C1B1D1【练习2】设不等腰?ABC的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F，则EF与BC，FD与CA，DE与AB 的交点X、Y、Z在同一条直线上；【练习3】已知直线AA1，BB1，CC1相交于O，直线AB和A1B1的交点为C2，直线BC与B1C1的交点是A2，直【练习4】在一条直线上取点E、C、A，在另一条上取点B、F、D，记直线AB和ED，CD和AF，CD和AF，EF和BC的交点依次为L、M、N，证明：L、M、N共线
线AC与A1C1的交点是B2，试证：A2、B2、C2三点共线；练习1的证明证：若AD//A1D1，结论显然成立；若AD与A1D1相交与点L，则把梅涅劳斯定理分别用于?A1AL和?B1BL可得：ADLD1A1KLCAKA1C1BCLC1B1K???1???1???1LDA1D1AKACA1KLC1LCB1C1BKLDBKB1D1???1BDB1KLD1ADBCA1C1B1D1将上面四条式子相乘可得：????1ACBDA1D1B1C1ACADA1C1A1D1即：:?:BCBDB1C1B1D1
练习2的证明BXCEAF证：?ABC被直线XFE所截，由定理1可得：???1XCEAFBBXFB又AE?AF代人上式可得：＝XCCE
CYDCAZEA同理可得：＝＝YAAFZBBDBXCYAZ将上面三条式子相乘可得：???1XCYAZB又X、Y、Z都不在?ABC的边上，由定理2可得X、Y、Z三点共线练习3的证明证：设A2、B2、C2分别是直线BC和B1C1，AC和A1C1，AB和A1B1的交点，对所得的三角形和在它们边上的点：OAB和(A1，B1,C2),OBC和(B1，C1,A2),OAC和(A1，C1,B2)应用梅涅劳斯定理有：AA1OB1BC2OC1BB1CA2OA1CC1AB2???1???1???1OA1BB1AC2CC1OB1BA2AA1OC1CB2BCAB2CA2将上面的三条式子相乘可得：2???1AC2CB2BA2由梅涅劳斯定理可知A2,B2,C2共线练习4的证明证：记直线EF和CD，EF和AB，AB和CD的交点分别为U、V、W，对?UVW，应用梅涅劳斯定理于五组三元点(L,D,E),(A,M,F),(B,C,N),(A,C,E),(B,D,F)，则有UEVLWDVAUFWMUNWCVB???1???1???1VEWLUDWAVFYMVNUCWBWAUCVEWBUDVF???1???1VAWCUEVBWDUFVLWMUN将上面五条式子相乘可得：???1,?点L,M,N共线WLUMVN